Cours du 19 Septembre 2010

• Un vecteur est déterminé par son module (sa longueur), sa direction (la droite qui le porte)
  et son sens (à gauche, à droite, en haut, en bas)
  refaire l'exercice sur les charges électriques de la fin du cours vecteurs 2D
  ce qui détermine le sens des vecteurs forces, c'est la répulsion (← q     q →) ou l' attraction (+q → ← −q).
• équation ax² + bx + c = 0 ( nouvelle version )
• Primitives : ∫ f(x) dx = F(x) + K <=> F'(x) = f(x)
  • exemple 1 : ∫ xⁿ dx
    • on essaie : F(x) = xⁿ → F'(x) = n xⁿ⁻¹ ≠ f(x) = xⁿ
    • on ajuste la puissance : F(x) = xⁿ⁺¹ → F'(x) = (n+1) xⁿ ≠ f(x) = xⁿ
    • on ajuste le facteur multiplicatif : F(x) = [1/(n+1)] xⁿ⁺¹ → F'(x) = xⁿ = f(x) = xⁿ
    • primitive à connaître : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + K
    • Formule vraie pour n ∈ R − {−1}
      en particulier n = −2 ( x⁻² = 1/x² ) => ∫ dx / x² = ∫ x⁻² dx = x⁻¹ / (−1) = −1/x
      et n = 1/2 ( x^1/2 = √x ) => ∫ √x dx = ∫ x^1/2 dx = x^3/2 / (3/2) = 2 x √x / 3
  • primitive à connaître : ∫ dx / x = ln(x) + K = ln(x) + ln(k) = ln(k x)
  • exemple 2 : ∫ e^{k x} dx
    • on essaie : F(x) = e^{k x} → F'(x) = k e^{k x} ≠ f(x) = e^{k x}
    • on ajuste le facteur multiplicatif : F(x) = (1/k) e^{k x} → F'(x) = e^{k x} = f(x) = e^{k x}
    • primitive à connaître : ∫ e^{k x} dx = e^{k x} / k + K
• équations différentielles
• décharge d'un condensateur de capacité C (unité Farad) dans une résistance R (unité Ohm) :
  • au temps t=0 : le condensateur est chargé avec q₀ sur une armature et −q₀ sur l'autre armature.
  • formules : i(t) = − dq(t)/dt
  • u(t) = R i(t) = q(t)/C
  • d'où l'équation différentielle en q(t) : q(t)/C = − R dq(t)/dt
  • Soit : dq(t)/dt + q(t)/(RC) = 0
  • de solution générale : q(t) = A e^{− t / (RC)} ( voir équations différentielles )
  • pour t=0 : q₀ = A e⁰ = A => q(t) = q₀ e^{− t / (RC)} ( exponentielle décroissante )

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