Cours

• notation f '(x) = df / dx car f '(x) = lim ( Δ y / Δ x ) quand Δ x → 0
  • définition de f '(a) : f '(a) = lim [ ( f(a+h) − f(a) ) / h ] quand h → 0
  • où Δ y = f(a+h) − f(a)   et Δ x = h
• changement de variable : u(x) => f(u(x))= f•u(x)   => f(u(x))' = f '(u) × u'(x)
  devient : df / dx = (df / du) × (du / dx)
  application : (x²)' = 2 x => (u²)' = 2 u u'
• existence d'une limite à une suite u_n en n → +∞ :
  • si la suite est croissante ( u' > 0 ) et majorée ( u_n < M )
  • si la suite est décroissante ( u' < 0 ) et minorée ( u_n > m )
  • comprise entre 2 suites qui convergent vers la même limite.
• pour u_n+1 = f(u_n), si la limite L existe, elle vérifie l'équation : L = f(L)
  • exemple : u_n+1 = ( u_n + 5 / u_n ) / 2
  • la limite vérifie : L = ( L + 5 / L ) / 2
  • en déduire L = réponse
• limites
  • en général : quand x → a : f(x) → f(a) ( on remplace x par sa limite a )
    avec a appartient à R ou x = ±∞
  • opérations avec l'infini :

    ∞ ± a = ∞	l'ajout d'une constante "a" à l'∞ ne le modifie pas
    ∞ + ∞ = ∞
    ∞ × a = signe(a) ∞	le produit de l'∞ par une constante "a" à l'∞ ne modifie que son signe
    ∞ × ∞ = ∞
    1 / 0 = ∞	Courbe f(x) = 1 / x	f(+0) = +∞
    1 / ∞ = 0		f(+∞) = +0
    e−∞ = 0	Courbe f(x) = ex	f(−∞) = +0
    e+∞ = +∞		f(+∞) = +∞
    ln(0) = −∞	Courbe f(x) = ln(x)	f(+0) = −∞
    ln(+∞) = +∞		f(+∞) = +∞

• les 4 formes indéterminées : Quand on remplace x par sa limite a, +∞ ou −∞ on peut obtenir :
  • avec l'addition : ∞ − ∞ = ?
  • avec la multiplication : 0 × ∞ = ?
  • avec la division : 0 / 0 = ?
  •                           ∞ / ∞ = ?
  car on ne sait pas lequel des deux l'emporte. C'est en simplifiant l'expression que l'on peut lever l'indétermination.
  exemple : f(x) = ( 2x³ + x ) / ( 3x³ + 1) quand x → ∞
  lim f(x) = ∞ / ∞ = lim 2x³ / ( 3x³ ) ( termes de plus haut degré )
  on simplifie par x³ : lim f(x) = 2/3
• coordonnées polaires : (pour le prochain cours)
  M(x, y)   en coordonnées cartésiennes devient
  M(ρ, θ)   en coordonnées polaires
  avec x = ρ cos(θ) et y = ρ sin(θ)
  d'où ρ² = x² + y²   et θ = arctan( y / x )
• élément d'intégration 2d : (pour le prochain cours)
  dS = dx dy   en coordonnées cartésiennes
  dS = ρ dρ dθ = d(ρ²) dθ / 2   en coordonnées polaires

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