Cours du 10 Octobre 2010
- reconnaître une suite géométrique :
- rappel : ab+c = ab × ac
- la suite un = 2n+2
est une suite géométrique :
u0 = 4 et de raison q = 2 :
un = 4 × 2n
- la suite un = 2n+2 + 2n+4
est une suite géométrique :
u0 = 4 + 16 = 20 et de raison q = 2 :
un = 20 × 2n
- limites
- asymptotes
- règle de Klechkowski
- Suite : u0 = Π / 4 et un+1 = 1 − cos(un)
- Encadrement de la suite :
- −1 ≤ cos(un) ≤ +1
- +1 ≥ − cos(un) ≥ −1
- +2 ≥ 1 − cos(un) ≥ 0
- un ≥ 0
- Sens de variation de la suite : signe de un+1 − un
- un+1 − un = 1 − cos(un) − un
- étude de f(x) = 1 − cos(x) − x
- f '(x) = sin(x) − 1 ≤ 0
- f(x) est décroissante depuis f(0) = 0 donc toujours inférieure ou égale à 0
- un+1 − un ≤ 0 : décroissante
- La suite est décroissante avec une borne inférieure :
donc elle converge !
- Quelles sont les limites L possibles ?
- Les solutions à l'équation : L = 1 − cos(L)
- soit f(x) précédent = 0
- f(0) = 0 : L = 0 est une solution possible
- comme f(x) est décroissante depuis 0, elle n'est plus jamais nulle :
il n'y a pas d'autre solution possible.
- la limite 0 est la seule limite possible : L = 0
- Suite : w0 = 2 et wn+1 = 1 / ( 3 + wn )
- Encadrement : w0 > 0 => w1 > 0 ... :
wn > 0
- Limites L possibles ?
- L = 1 / ( 3 + L )
- L2 + 3 L − 1 = 0
- Δ = 9 + 4 = 13
- L = ( − 3 ± √13 ) / 2
- comme wn > 0 , si elle converge,
elle ne peut converger que vers la racine positive :
L = ( − 3 + √13 ) / 2
≈ 0,30
- Sens de variation :
le signe de un+1 − un n'est pas toujours le même.
On ne pourra rien en conclure.
- Etude de ( wn+1 − L ) = 1 / (3 + wn ) − L
- ( wn+1 − L ) =
( 1 − 3 L − L wn ) / (3 + wn )
- or : 1 − 3 L = L2 ( d'après le calcul de la limite )
- ( wn+1 − L ) =
L ( L − wn ) / (3 + wn )
- | wn+1 − L | < | wn − L | × L / 3
- L / 3 < 1 => la suite wn converge vers L
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