Cours du 24 Octobre 2010
- pratique de dérivabilité et limites.
dérivées
- Bijection : une application qui est dans les 2 sens :
- on passe de x à y par f : y = f(x)
il existe une fonction réciproque de f :
f−1 qui fait passer de y à x :
y = f(x) et x = f−1(y)
- f−1(f(x)) = x ou f−1 o f = I ( I = fonction identité)
- attention : ne pas confondre f−1(y) avec [f(y)]−1 = 1 / f(y)
- Chaque point x a une image unique (fonction)
chaque y a un antécédent unique (fonction inverse)
- on peut mettre une flèche à double sens entre x et y : x ↔ y
définition rigoureuse de la bijection f de E sur F :
tout point x de l'ensemble de départ E a une image unique f(x) dans l'ensemble d'arrivée F.
tout point y de l'ensemble d'arrivée F a un antécédent unique f−1(y)
dans l'ensemble de départ E.
- Les fonctions monotones sont des bijections
( toujours croissantes ou toujours décroissantes )
- la parabole y = x2 sur R n'est pas une bijection car 2 → 4,
mais −2 → 4 aussi
Il n'y a pas de fonction inverse car y = 4 → x = (2 et −2) : il a 2 antécédents
D'ailleurs la fonction racine carré est seulement une demi-parabole
- En réduisant l'intervalle de définition, elle devient une bijection :
La demi-parabole y = x2 sur R+ est une bijection
- Concavité : C'est la courbure de la fonction, donnée par la dérivée seconde
- dérivée seconde f '' = dérivée de la dérivée f '
- si f '' > 0 : la courbe est convexe
(exemple la parabole : y = x2 car y'' = 2 > 0)
si f '(x) = 0 et f ''(x) > 0 : la courbe présente un minimum au point x
- si f '' < 0 : la courbe est concave
(exemple la parabole : y = −x2 car y'' = −2 < 0)
si f '(x) = 0 et f ''(x) < 0 : la courbe présente un maximum au point x
- théorème des accroissements finis :
- Si la fonction est continue sur l'intervalle [a , b]
et dérivable sur l'intervalle ]a , b[
il existe un point c appartenant à ]a , b[
tel que f '(c) = ( f(b)−f(a) ) / (b − a)
- propriétés chimiques des oses
- Les oses
- Les glucides
- fonction alcool : R − CH2 − OH
- fonction aldéhyde : R − CH = O
- fonction cétone : R − (C=O) − R'
- vocabulaire : toutes ces molécules ont les mêmes formules brutes, seule leur configuration change.
- tautomérisation : réaction chimique d'une molécule avec elle-même :
réorganisation des liaisons ( exemple )
- interconversion : conversion entre eux-mêmes
- épimérisation : inversion de l'un des carbones asymétriques de la molécule
- un mélange racémique est un mélange en proportions égales des énantiomères lévogyre et dextrogyre d'une molécule chirale
- La projection de Haworth est un moyen pratique de représenter la structure cyclique des oses (monosaccharides)
avec une simple perspective tridimensionnelle.
( exemple )
- cyclique : qui forment un cercle ( en fait : un hexagone ou un pentagone )
- anomères : glucides
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