Cours du 24 Octobre 2010

• pratique de dérivabilité et limites. dérivées
• Bijection : une application qui est dans les 2 sens :
  • on passe de x à y par f : y = f(x)
    il existe une fonction réciproque de f : f⁻¹ qui fait passer de y à x : y = f(x) et x = f⁻¹(y)
  • f⁻¹(f(x)) = x ou f⁻¹ o f = I ( I = fonction identité)
  • attention : ne pas confondre f⁻¹(y) avec [f(y)]⁻¹ = 1 / f(y)
  • Chaque point x a une image unique (fonction) chaque y a un antécédent unique (fonction inverse)
  • on peut mettre une flèche à double sens entre x et y : x ↔ y
  
  définition rigoureuse de la bijection f de E sur F :
  tout point x de l'ensemble de départ E a une image unique f(x) dans l'ensemble d'arrivée F.
  tout point y de l'ensemble d'arrivée F a un antécédent unique f⁻¹(y) dans l'ensemble de départ E.
  • Les fonctions monotones sont des bijections ( toujours croissantes ou toujours décroissantes )
  • la parabole y = x² sur R n'est pas une bijection car 2 → 4, mais −2 → 4 aussi
    Il n'y a pas de fonction inverse car y = 4 → x = (2 et −2) : il a 2 antécédents
    D'ailleurs la fonction racine carré est seulement une demi-parabole
  • En réduisant l'intervalle de définition, elle devient une bijection :
    La demi-parabole y = x² sur R⁺ est une bijection
• Concavité : C'est la courbure de la fonction, donnée par la dérivée seconde
  • dérivée seconde f '' = dérivée de la dérivée f '
  • si f '' > 0 : la courbe est convexe (exemple la parabole : y = x² car y'' = 2 > 0)
    si f '(x) = 0 et f ''(x) > 0 : la courbe présente un minimum au point x
  • si f '' < 0 : la courbe est concave (exemple la parabole : y = −x² car y'' = −2 < 0)
    si f '(x) = 0 et f ''(x) < 0 : la courbe présente un maximum au point x
• théorème des accroissements finis :
  • Si la fonction est continue sur l'intervalle [a , b] et dérivable sur l'intervalle ]a , b[
    il existe un point c appartenant à ]a , b[ tel que f '(c) = ( f(b)−f(a) ) / (b − a)
• propriétés chimiques des oses
  • Les oses
  • Les glucides
  • fonction alcool : R − CH₂ − OH
  • fonction aldéhyde : R − CH = O
  • fonction cétone : R − (C=O) − R'
• vocabulaire : toutes ces molécules ont les mêmes formules brutes, seule leur configuration change.
  • tautomérisation : réaction chimique d'une molécule avec elle-même : réorganisation des liaisons ( exemple )
  • interconversion : conversion entre eux-mêmes
  • épimérisation : inversion de l'un des carbones asymétriques de la molécule
  • un mélange racémique est un mélange en proportions égales des énantiomères lévogyre et dextrogyre d'une molécule chirale
  • La projection de Haworth est un moyen pratique de représenter la structure cyclique des oses (monosaccharides) avec une simple perspective tridimensionnelle. ( exemple )
  • cyclique : qui forment un cercle ( en fait : un hexagone ou un pentagone )
  • anomères : glucides

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