Math TD2 Repères & Fonctions

• Exercice 1 : résoudre les inégalités suivantes :
  • valeur absolue : | A | = A si A ≥ 0 et | A | = − (A) si A ≤ 0
  • si a > 0 : | A | < a <=> −a < A < a
  • | x − 2 | ≤ 1
    • −1 ≤ x − 2 ≤ 1
    • 1 ≤ x ≤ 3
  • | x − 3 | ≤ 5
    • −5 ≤ x − 3 ≤ 5
    • −2 ≤ x ≤ 8
  • | x + 1 | > 2
    • x + 1 > 2 ou x + 1 < −2
    • x > 1 ou x < −3
  • x² − 2 x − 3 > 0
    • Δ = b² − 4 a c = 4 − 4 × (−3) = 16
    • racines : ( −b ± √ Δ ) / ( 2 a )
    • racines : ( 2 ± 4 ) / 2 = { 3, −1 }
    • a x² + b x + c est du signe de a à l'extérieur des racines
    • a > 0   =>   x < − 1 ou x > 3
  • | x − 1 | < 3 et ( x − 2 ) ( x + 2 ) ≤ 0
    • −3 < x − 1 < 3   <=>   −2 < x < 4
    • ( x − 2 ) ( x + 2 ) ≤ 0 polynome de degré 2 : du signe de a à l'extérieur des racines
        <=>   −2 ≤ x ≤ 2
    • les 2 conditions satisfaites si : −2 < x ≤ 2
• exercice 2 : Changement de repères :
  • (O, x, y) → (O', x', y') où O'=(3, 1), e'₁ = e₁, e'₂ = e₂
    • y = 2 x − 5
    • M = O + x e₁ + y e₂
    • M = O' + x' e'₁ + y' e'₂
    • O + x e₁ + y e₂ = O' + x' e'₁ + y' e'₂
    • x e₁ + y e₂ = 3 e₁ + 1 e₂ + x' e₁ + y' e₂
    • selon e₁ : x = 3 + x'
    • selon e₂ : y = 1 + y'
    • 1 + y' = 2 ( 3 + x' ) − 5
    • y' = 2 x'
  • (O, x, y) → (O', x', y') où O'=(1, 1), e'₁ = 2 e₁, e'₂ = (1/3) e₂
    • ( x − 1 )² / 4 + 9 ( y − 1 ) ² = 1
    • M = O + x e₁ + y e₂
    • M = O' + x' e'₁ + y' e'₂
    • O + x e₁ + y e₂ = O' + x' e'₁ + y' e'₂
    • x e₁ + y e₂ = e₁ + e₂ + 2 x' e₁ + y/3 e₂
    • selon e₁ : x = 1 + 2 x'
    • selon e₂ : y = 1 + y'/3
    • ( 2 x' )² / 4 + 9 ( y' / 3 ) ² = 1
    • x'² + y'² = 1
    • Ellipse de centre O et d'axes Ox et Oy
• exercice 3a : comment transformer y = 1 + x² en une équation linéaire :
  • ln ( y − 1 ) = 2 ln ( x )
  • en posant : y' = ln ( y − 1 ) et x' = ln ( x )
  • y' = 2 x'
• exercice 3b : comment transformer y = 5 x⁻³ en une équation linéaire :
  • ln( y ) = ln( 5 ) − 3 ln ( x )
  • en posant : y' = ln( y ) et x' = ln ( x )
  • y' = ln( 5 ) − 3 x'
  • Equilibrer la répartition des points expérimentaux sur la page.
• exercice 4 : Etudier les fonctions suivantes (D_f, continuité, dérivée, signe(f '), variation, limites, graphe)
  • f(x) = x² + 7
    • D_f = ℜ ; continue ; f '(x) = 2 x

      x	−∞		0		+∞
      f '(x)		−	0	+
      f(x)	+∞	décroissante	7	croissante	+∞

  • g(x) = x³ + x
    • D_f = ℜ ; continue ; f '(x) = 3 x² + 1 ; f ''(x) = 6 x : point d'inflexion en x = 0

      x	−∞		+∞
      f '(x)		+
      f(x)	−∞	croissante	+∞

  • h(x) = ( 3 − x ) / ( 4 + x )
    • D_f = ℜ − { −4 } ; continue ; f '(x) = −7 / ( 4 + x )² ;

      x	−∞		−4		+∞
      f '(x)		−	||	−
      f(x)	−1	décroissante	||	décroissante	−1

    • limite quand x → −4⁻ ou −4 −0
      • 3 − (−4) = 7 > 0
      • Soit : x < − 4 => x + 4 < 0
      • f (x) → −∞ ( cohérent avec la décroissance de f(x) )
    • limite quand x → −4⁺ ou −4 +0
      • 3 − (−4) = 7 > 0
      • Soit : x > − 4 => x + 4 > 0
      • f (x) → +∞ ( cohérent avec la décroissance de f(x) )
  • i(x) = ln( 1 + sin( x ) )
    • D_f : 1 + sin( x ) > 0   <=>   sin(x) > −1   <=>   x ≠ 3Π/2 + 2 k Π
    • continue ; f '(x) = cos( x ) / ( 1 + sin( x ) )
    • fonction périodique de période 2Π

      x	−Π/2		+Π/2		3Π/2
      f '(x)	||	+	0	−	||
      f(x)	−∞	croissante	0	décroissante	−∞

  • j(x) = x e^−x2 si x < 0 et j(x) = e^{−2 x} si x ≥ 0
    • D_f = ℜ
    • continuité en x = 0 :
      • à gauche : x = −0 ; j(−0) = 0 × e⁰ = 0 × 1 = 0
      • à droite : x = +0 ; j(+0) = e⁰ = 1
      • => j(x) n'est pas continue en x = 0 : j(x) est continue sur ℜ − { 0 }
    • ...
  • k(x) = √ 4 − x si x ≤ 4 et k(x) = ( x − 4 )² si x > 4
    • D_f = ℜ
    • continuité en x = 4 :
      • à gauche : x = 4 − 0 ; k(4 − 0) = √ 0 = 0
      • à droite : x = 4 + 0 ; k(4 + 0) = 0² = 0
      • => k(x) est continue en x = 4 : k(x) est continue sur ℜ
    • ...
• exercice 5 : tangente et normale aux graphes des fonctions suivantes :
  • droites perpendiculaires : a a' = −1 Soit : a' = − 1 / a
  • f(x) = 2 x + 1 en x = 3
    • Point : x = 3 ; y = 7
    • tangente : y = 2 x + 1
    • normale : y = 7 − (1/2) ( x − 3 ) Soit : y = − x / 2 + 17 / 2
  • g(x) = ( x + 1 ) / ( x − 2 ) en x = 5
    • Point : x = 5 ; y = 6 / 3 = 2
    • g'(x) = − 3 / ( x − 2 )² ; g'(5) = − 3 / 9 = −1 / 3
    • tangente : y = 2 − (1 / 3) ( x − 5 ) = ( − x + 11 ) / 3
    • normale : y = 2 + 3 ( x − 5 ) = 3 x − 13
  • h(x) = sin( x² ) en x = √Π
    • Point : x = √Π ; y = sin( Π ) = 0
  • h(x) = ln( 2 x + 1 ) en x = 1
    • Point : x = 1 ; y = ln( 3 )

retour aux menus :   licence   math