Math TD3 Etudes de fonctions pour les applications

• Exercice 1 : échelle de Richter pour les séismes :
  • M = log A − log A₀ = log( A / A₀ )
  • => 10^M = 10^{log( A / A₀ )} = A / A₀
  • A = 3,98 10⁷ A₀ => M = log(3,98 10⁷)
    M = log(3,98) + log(10⁷) = 7 + log(3,98) = 7 + 0,6 = 7,6
  • M = 5 => A / A₀ = 10^M = 10⁵
  • A(M) = A₀ 10^M
    A(M+1) = A₀ 10^M+1 = A₀ 10^M × 10 = 10 A(M)
    une augmentation de magnitude de 1 correspond à une multplication par 10 de l'amplitude
    A(M−1) = A₀ 10^M−1 = A₀ 10^M / 10 = A(M) / 10
    une diminution de magnitude de 1 correspond à une division par 10 de l'amplitude
• Exercice 2 : pH = − log [H⁺] <=> [H⁺] = 10^−pH
  • rappel : log et exp sont des fonctions réciproques => log ( 10^a ) = a = 10^log(a)
  • [H⁺] = 3.10⁻⁷ => pH = − log ( 3.10⁻⁷ ) = 6,52
    pH = − log ( 3 ) − log ( 10⁻⁷ ) = − log ( 3 ) − ( −7 ) = 7 − log ( 3 )
  • pH = 7 => − log [H⁺] = 7
    • log [H⁺] = − 7
    • 10^{log [H+]} = 10^{− 7}
    • H⁺ = 10^{− 7}
• Exercice 3 : comprimé parallélépipédique
  • V = x × 2x × y = 576 mm³ => y = 576 / ( 2 x² ) = 288 / x²
  • S = somme des 6 faces = 2 ( x × 2x + 2x × y + x × y )
    • S(x) = 2 ( 2 x² + 2 x y + x y ) = 2 x ( 2 x + 3 y )
    • S(x) = 2 x ( 2 x + 3 × 288 / x² ) = 2 ( 2 x² + 864 / x )
  • Etude de S(x) sur [ 3 mm ; 12 mm ] : 3 mm < x < 12 mm
    • S'(x) = 2 ( 4 x − 864 / x² ) = 2 ( 4 x − 864 x⁻² )
      • S'(x) = 0 = 2 ( 4 x − 864 / x² )
      • 4 x = 864 / x² => x³ = 864 / 4 = 216
      • x = 216^1/3 = 6 mm ( extremum : minimum ou maximum )
    • S''(x) = 2 ( 4 − (−2) 864 x⁻³ ) = 2 ( 4 + 2 × 864 x⁻³ ) > 0     ( car x > 0 )

      x	3		6		12
      S''(x)	+
      S'(x)	−168	croissante	0	croissante	84
      S'(x)	−		0	+
      S(x)	décroissante		432	croissante

    • x = 6 correspond bien à un minimum de S(x)
• Exercice 4 : Puissance d'un résistor R : P = R E² / ( R + r )²
  • Variation de P(R) :
    • P(R) = E² u / v avec u = R et v = ( R + r )²
    • u' = 1 et v' = 2 ( R + r )
    • P'(R) = E² ( u' v − u v' ) / v²
    • P'(R) = E² [ ( R + r )² − R 2 ( R + r ) ] / ( R + r )⁴
    • P'(R) = E² [ ( R + r ) − 2 R] / ( R + r )³
    • P'(R) = E² [ r − R ] / ( R + r )³     du signe de [ r − R ]
    • P'(R) = 0 pour R = r

      R	0		r		+∞
      r − R	r	+	0	−	−∞
      P'(R)	+		0	−
      P(R)	0	croissante	E2/(4r)	décroissante	0

  • P(R) maximum pour R = r
• Exercice 5 : Intensité lumineuse de 2 sources de lumière au point M

  0		x		L
  A	→	M	←	B

  • I(A en M) = p / x²
  • I(B en M) = 8 p / ( L − x )²
  • I(M) = p / x² + 8 p / ( L − x )² = u + v
  • avec u = p / x² = p x⁻²
  • avec v = 8 p / ( L − x )² = 8 p ( L − x )⁻²
  • I '(M) = u' + v'
  • u' = − 2 p x⁻³ = − 2 p / x³
  • v = 8 p w⁻²     avec w = ( L − x ) donc w' = −1
  • v' = 8 p (−2) w⁻³ w'
  • v' = 8 p (−2) ( L − x )⁻³ (−1)
  • v' = 16 p ( L − x )⁻³ = 16 p / ( L − x )³
  • I '(M) = − 2 p / x³ + 16 p / ( L − x )³
  • I '(M) = 0 <=> 2 p / x³ = 16 p / ( L − x )³
    • 1 / x³ = 8 / ( L − x )³
    • ( L − x )³ = 8 x³
    • nous prenons les racines cubiques de chaque membre
    • ( L − x ) = 2 x
    • L = 3 x <=> x = L / 3

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