3 exercices

• 3x³ + 2x² + 4x + 5 = 3x³ + 5x² + 3x − 1
  • 0 = 3x² − x − 6
  • a = 3 ; b = −1 ; c = −6
  • Δ = 1 −4×(3)×(−6) = 1 + 4×3×6 = 1 + 72 = 73
    ATTENTION : −4ac = −4×(3)×(−6) = 4×3×6
  • x = ( 1 ± √73 ) / 6
  • Application numérique (n'était pas demandée) :
    • ( 1 − sqrt(73) ) / 6 = −1,2573339575529217
    • ( 1 + sqrt(73) ) / 6 = 1,5906672908862551
  • Vérification :
    • S = x₁ + x₂ = 2×1/6 = 1/3
      −b/a = 1/3 OK
    • P = x₁ x₂ = (1 −73)/36 = −72/36 = −2
      c/a = −6/3 = −2 OK
    • Remarque : inutile de refaire tous les calculs :
      x₁ + x₂ : les Δ se simplifient = 2 × (−b)/(2a)
      x₁ x₂ : les numérateurs sont de la forme : (A−B)(A+B) = A² − B² = ( b² − Δ ) / (4 a²)
• 1/(2+x) = 2/(3+x)
  • préliminaire : 2+x doit être ≠ 0 ; de même que (3+x) ≠ 0
    soit x ≠ −2 et x ≠ −3
  • élimination des dénominateurs : par multiplication par (2+x) et (3+x)
  • 3+x = 2(2+x)
    ATTENTION : 2(2+x) = 2×2 + 2×x = 4 + 2x
  • 3 + x = 4 + 2x
  • 0 = 1 + x
  • x = −1
• (2x+1)/(3x+4) = (4x+5)/(5x+6)
  • préliminaire : (3x+4) doit être ≠ 0 ; de même que (5x+6) ≠ 0
    soit x ≠ −4/3 et x ≠ −6/5
  • élimination des dénominateurs : par multiplication par (3x+4) et (5x+6)
  • (2x+1) (5x+6) = (4x+5) (3x+4)
    remarque : produits en croix A/B = C/D => AD = BC
  • 10x² + 12x + 5x + 6 = 12x² + 15x + 16x + 20
  • 10x² + 17x + 6 = 12x² + 31x + 20
  • 0 = 2x² + 14x + 14
  • a = 2 ; b = 14 ; c = 14
  • on peut simplifier par 2
  • 0 = x² + 7x + 7
  • a = 1 ; b = 7 ; c = 7
  • Δ = 49 − 4×7 = 49 − 28 = 21
  • x = ( −7 ±√21 ) / 2
  • Application numérique (n'était pas demandée) :
    • ( −7 − sqrt(21) ) / 2 = −5,7912878474779195
    • ( −7 + sqrt(21) ) / 2 = −1,20871215252208
  • Vérification :
    • Somme : 2×(−7/2) = −7 à comparer à −b/a = −14/2 = −7 OK
    • Produit : [ (−7)² − 21 ] / 4 = (49 − 21)/4 = 28/4 = 14/2 = 7 à comparer à c/a = 14/2 = 7 OK