DM2

• Exercice 1
  • f(x) = 2x² + 3x + 1
  • g(x) = −9x² − 12x + 5
  • h(x) = 3x² − 8x + 7
  • k(x) = x² − x + 1/4
  • 1.1) racines : notation possibles : x² = x^2 = x**2 ; √Δ = sqrt(Δ) (SQuareRooT) = Δ^ (1/2) = Δ**(1/2)
    • Δ = b² − 4ac
    • f(x) : Δ = 3² − 4×2 = 9 − 8 = 1
      • x = ( −3 ± 1) / (2× 2) = − 1 ou −1/2
      • vérification : x₁ + x₂ = −3/2 = −b/a OK
      • x₁ × x₂ = 1/2 = c/a OK
    • g(x) : Δ = 144 + 180 = 324 = 4 × 81 = 18²
      • x = (12 ± 18 ) / (−18) = −30/18 ou 6/18 = −5/3 ou 1/3
      • vérification : x₁ + x₂ = −4/3 = −b/a OK
      • x₁ × x₂ = −5/9 = c/a OK
    • h(x) : Δ = 64 − 84 = −20 < 0
      • pas de racines
    • k(x) : Δ = 1 − 1 = 0
      • x = 1 / 2
      • vérification : x + x = −b/a = 1 OK
      • x × x = 1/4 = c/a OK
  • 1.2) factoriser
    • f(x) = 2 (x + 1) (x + 1/2)
    • g(x) = −9 (x + 5/3) (x − 1/3)
    • h(x) = pas factorisable
    • k(x) = (x − 1/2)²
  • 1.3) tableaux de signes des fonctions : tableaux détaillés du fait de la question précédente : factorisation
    • signe de f(x) : signe de a en dehors des racines.

      x	−∞	−1		−1/2	+∞
      signe(2)	+	+	+	+	+
      signe(x + 1)	−	0	+	+	+
      signe(x + 1/2)	−	−	−	0	+
      signe(f(x))	+	0	−	0	+

    • signe de g(x) : signe de a en dehors des racines.

      x	−∞	−5/3		1/3	+∞
      signe(−9)	−	−	−	−	−
      signe(x + 5/3)	−	0	+	+	+
      signe(x − 1/3)	−	−	−	0	+
      signe(g(x))	−	0	+	0	−

    • signe de h(x) : signe de a en dehors des racines.

      x	−∞                         +∞
      signe(h(x))	+

    • signe de k(x) : signe de a en dehors des racines.

      x	−∞	1/2	+∞
      signe(x − 1/2)	−	0	+
      signe(x − 1/2)	−	0	+
      signe(g(x))	+	0	+

  • 1.4) inéquations
    • f(x) > 0 : x ∈ ] −∞ ; −1 [ U ] −1/2 ; +∞ [
    • g(x) ≤ 0 : x ∈ ] −∞ ; −5/3 ] U [ 1/3 ; +∞ [
    • k(x) = 0 : x = 1/2
    • k(x) < 0 : pas de solution
• Exercice 2 : U₀ = 1 et U_n = n²/3
  • U₁ = 1/3, U₂ = 4/3, U₃ = 9/3 = 3
  • U_n+1 = (n + 1)²/3
  • U_n+1 − U_n :
    n = 0 : U₁ − U₀ = −2/3 < 0 : décroissante de n=0 à 1
    n ≥ 1 : U_n+1 − U_n = (n + 1)²/3 − n²/3
    on reconnaît l'identité remarquable a² − b² = (a − b) (a + b) ( ou bien on développe )
    U_n+1 − U_n = (2n + 1)/3 > 0 : la suite U est croissante pour n ≥ 1
  • U_n+1 / U_n :
    n = 0 : U₁ / U₀ = 1/3 < 1 : décroissante de n=0 à 1
    n ≥ 1 : U_n+1 / U_n = [ (n + 1) / n ]² = (1 + 1/n)² > 1 : la suite U est croissante pour n ≥ 1
• Exercice 3 : V₁ = 1 et V_n = 4/n
  • V₁ = 4, V₂ = 4/2 = 2, V₃ = 4/3
  • V_n+1 = 4/(n + 1)
  • V_n+1 − V_n :
    n = 0 : V₁ − V₀ = 3 > 0
    n ≥ 1 : V_n+1 − V_n = 4/(n + 1) − 4/n = −4 / [ n (n + 1) ] < 0
  • V_n+1 / V_n :
    n = 0 : V₁ / V₀ = 4 > 1
    n ≥ 1 : V_n+1 / V_n = n / (n + 1) = 1 − 1/(n + 1) < 1
  • La suite V est croissante de n=0 à n = 1, puis décroissante de n=1 à ∞
• Exercice 4 :
  • U_n = 2ⁿ (suite géométrique de raison q = 2)
    U_n+1 / U_n = 2ⁿ⁺¹ / 2ⁿ = 2 > 1 : croissante
  • V_n = 3n + 1 (suite arithmétique de raison r = 3)
    V_n+1 − V_n = 3 > 0 : croissante
  • W_n+1 = W_n + 5
    W_n+1 − W_n = 5 > 0
    suite arithmétique de raison r = 5 > 0 : croissante
  • S_n+1 = 3 S_n
    S_n+1 / S_n = 3 > 1
    suite géométrique de raison q = 3 > 1 : croissante

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