Bilan du cours du Jeudi 13 Novembre 2008 (solutions)

Enoncé :
Droite (D) définie par 2 points A et B
Trouver l'équation de la droite (D) de la forme y = a x + b
sachant qu'elle passe par les 2 points A=(1,1) et b=(-1,1/2)

Solution :
Le point A appartient à la droite (D) <=> 1 = a + b
Le point B appartient à la droite (D) <=> 1/2 = -a + b
Méthode de combinaison : en additionnant les 2 équations (membre à membre) :
3/2 = 2b <=> b = 3/4
Méthode de combinaison : en soustrayant la seconde équation à la première :
1/2 = 2a <=> a = 1/4
 réponse  : y = x/4 + 3/4


Enoncé :
Trouvez la parabole (P) qui passe par 3 points A', B', C'
Trouver l'équation de la droite (D) de la forme y = a x2 + b x + c
sachant qu'elle passe par les 2 points A'=(-3,0), B'=(-1,0) et C'(-2,-1)

Solution :
Le point A' appartient à la droite (P) <=>  0 = 9a - 3b + c
Le point B' appartient à la droite (P) <=>  0 =  a -  b + c
Le point C' appartient à la droite (P) <=> -1 = 4a - 2b + c
(système de 3 équations du premier degré à 3 inconnues : a, b, c)
Méthode de substitution : à partir de la seconde équation, on exprime c en fonction de a et b :
c = b - a
En remplaçant c par sa valeur, le système devient (2 équations, 2 inconnues : a, b) 
|   0 = 8a - 2b
|   0 = 0
|  -1 = 3a -  b
Méthode de substitution : à partir de la première équation, on exprime b en fonction de a :
b = 4a
En remplaçant b par sa valeur, le système devient (1 équation, 1 inconnue : a) :
|  0 = 0
|  0 = 0
|  -1 = -a
d'où : a = 1
d'où : b = 4a = 4
d'où : c = b - a = 3
réponse : y = x2 + 4x + 3


Enoncé
Trouver les intersections des parabole (P) et droite (D) précédentes

Solution :
Les intersections (x,y) appartiennent aux 2 courbes : 
elles vérifient les 2 équations simultanément =>
|  y = x/4 + 3/4
|  y = x2 + 4x + 3
(système de 2 équations à 2 inconnues : x, y)
Méthode de substitution : on exprime y en fonction de x à partir d'une équation
 et on le remplace dans la deuxième :
x2 + 4x + 3 = x/4 + 3/4
On regroupe à gauche :
x2 + (4-1/4)x + (3-3/4) = 0
x2 + (15/4)x + (9/4) = 0
4x2 + 15x + 9 = 0
Δ = b2 - 4ac = 152 - 4.4.9 = 225 - 144 = 81 = 92
Δ > 0 : il y a 2 solutions.
x1 = (-b + sqrt(Δ))/(2a) = (-15 + 9)/8 = -6/8 = -3/4
x2 = (-b - sqrt(Δ))/(2a) = (-15 - 9)/8 = -24/8 = -3
auxquels correspondent les y suivants (obtenus par l'équation la plus simple)
y1 = (-3/4)/4 + 3/4 = -3/16 + 12/16 = 9/16
y2 = -3/4 + 3/4 = 0
réponse : il y a 2 intersections : (-3/4, 9/16) et A'=(-3, 0)