Cours de Math. 1^èreES du 29 Octobre 2013

• Sciences :
  • couleurs primaires (émission : télévision, photographie) : Rouge, Vert, Bleu
  • couleurs secondaires (primaires en peinture)
    • Rouge + Bleu = Magenta (violet) complémentaire du Vert
      un pigment Magenta absorbe le Vert et ré-émet le Rouge et le Bleu
    • Vert + Bleu = Cyan (bleu clair) complémentaire du Rouge
    • Rouge + Vert = Jaune complémentaire du Bleu
  • éclairé avec de la lumière blanche, jaune + cyan = absorbent : Bleu + Rouge => ré-met : Vert
• Tableau de signe de f(x) = a (x − x₁) ( x − x₂)
      a > 0     et     x₁ < x₂

  x	−∞	x1		x2	+∞
  signe de a	+	+	+	+	+
  signe de (x − x1)	−	0	+	+	+
  signe de (x − x2)	−	−	−	0	+
  signe de f(x)	+	0	−	0	+
  	f(x) < 0 pour x ∈ ] x1, x2 [ (intervalle)
  	f(x) = 0 pour x ∈ { x1, x2 } (ensemble)
  	f(x) > 0 pour x ∈ ] −∞, x1 [ U ] x2, +∞ [

• pour passer d'un équation à l'autre : expliquer en français ce que l'on fait
• on ne peut pas diviser une égalité par un nombre : ( A = B ) / 3 n'a pas de sens
  car une égalité A = B est vraie ou fausse : ce n'est pas un nombre.
• équation : 2 = 3 √3 x
  • divisons chaque membre de l'équation par 3 √3
  • => x = 2 / ( 3 √3 )
  • si on ne veut pas de racine au dénominateur :
    multiplions pas √3 les dénominateur et numérateur
  • x = 2 √3 / 9
• Signe de la fonction f(x) = a x² + b x + c
  • si a > 0 et Δ > 0 :
    • f(x) > 0 (du signe de a) sur l'intervalle : ] −∞ ; x₁ [
    • f(x) < 0 (du signe contraire de a) sur l'intervalle : ] x₁ ; x₂ [
    • f(x) > 0 (du signe de a) sur l'intervalle : ] x₂ ; +∞ [

    x	−∞	x1		x2	+∞
    signe de f(x)	signe de a	0	signe de −a	0	signe de a

  • S'il n'y a pas de racines (Δ < 0) : signe de f(x) = signe de a pour tout x
• Variation de la fonction f(x) = a x² + b x + c
  • si a > 0 : forme en U
    • décroissant sur l'intervalle : ] −∞ ; x_S [
    • croissant sur l'intervalle : ] x_S ; +∞ [

      x	−∞	xS	+∞
      variation de f(x)	décroissant	minimum yS	croissant

  • si a < 0 : forme en bosse ∩
    • croissant sur l'intervalle : ] −∞ ; x_S [
    • décroissant sur l'intervalle : ] x_S ; +∞ [

      x	−∞	xS	+∞
      variation de f(x)	croissant	maximum yS	décroissant

  • x_S = −b / (2a)
  • y_S = −Δ / (4a)
• Suites aritmétiques :
  • définition explicite : u_n = u₀ + n r
    • u_p = u₀ + p r
    • en soutrayant membre à membre :
    • u_n − u_p = ( n − p ) r
    • Soit : u_n = u_p + ( n − p ) r
• Suites géométriques :
  • définition explicite : u_n = u₀ qⁿ
    • u_p = u₀ q^p
    • en divisant membre à membre :
    • u_n / u_p = qⁿ / q^p = q^n−p
    • Soit : u_n = u_p q^n−p
• Puissances :
  • quand on augmente l'exposant de 1, on multiplie par q
  • quand on diminue l'exposant de 1, on divise par q

  puissance n	3	2	1	0	−1	−2
  qn	q3 = q × q × q	q2 = q × q	q1 = q	q0 = 1	q−1 = 1/q	q−2 = 1/q2

  • d'où : qⁿ / q^p = qⁿ × q^−p = q^n−p
  • (−1)ⁿ = 1 si n est pair ; −1 si n est impair
  • ( √3 )²ⁿ⁺¹ = 3ⁿ √3

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