Cours de Math. 1ère ES du 19 Novembre 2013

Cours de Math. 1^èreES du 19 Novembre 2013

Respecter les définitions :

suite Arithmétique : u₀ et u_n+1 = u_n + r
où r peut être positif ou négatif, mais la définition c'est + r
formulation par récurrence : u_n+1 = f(u_n)
formulation explicite : u_n = f(n)

Quand on a u_p à la place de u₀ :

u_n	=	u₀	+	n r	\| × (+1)
u_p	=	u₀	+	p r	\| × (−1)
u_n − u_p	=			(n − p) r

Soit : u_n = u_p + (n − p) r

Atteinte d'un objectif A : u_n = u_p + (n − p) r = A
d'où n = p + ( A − u_p ) / r
suite Géométrique : u_n = u_p q^{n − p} = A
Pour l'instant, il faut procéder par encadrement :
n = 60 trop grand, 40 trop petit, 50 pas loin, 51 légèrement au-dessus, 52 juste en-dessous (1797kcal)
l'année prochaine, avec la fonction ln(x), tu auras une méthode directe pour trouver n :
la fonction logarithme ln(x) transforme la suite géométrique en suite arithmétique.
ln(u_p) + (n − p) ln(q) = ln(A)
d'où : n = p + [ ln(A) − ln(u_p) ] / ln(q)
n = 1 + [ ln(1800) − ln(3000) ] / ln(0,99) = 51,83 ; il faut donc 52 pour dépasser l'objectif

puissances : 5⁻² = 1 / 5² = 1/25 5⁻¹ = 1 / 5 5⁰ = 1 5¹ = 5 5² = 25
5ⁿ / 5^p = 5^n−p et 5ⁿ⁺¹ / 5ⁿ = 5ⁿ⁺¹⁻ⁿ = 5¹ = 5
personnellement : je décompose 5ⁿ⁺¹ = 5ⁿ × 5¹ puis je simplifie par 5ⁿ
Pourcentages : 9% = 9/100 = 0,09 et 20% = 20/100 = 0,20
(garder le 2ème chiffre pour bien distinguer 2% = 0,02 de 20% = 0,20)
- pourcentage de x : exemple : 3% de x = (3/100)x = 0,03 x
- augmentation de 3% : x ----> (x + 3% de x) = x + (3/100)x = x + 0,03 x = (1 + 0,03) x = 1,03 x
- diminution de 3% : x ----> (x − 3% de x) = x − (3/100)x = x − 0,03 x = (1 − 0,03) x = 0,97 x
- ATTENTION : une diminution de 3 % n'annule pas une augmentation de 3% !
  en effet : 100 ----(+3%)----> 1,03 × 100 ----(−3%)----> 103 × 0,97 = 99,91 ≠ 100
  plus généralement : 1 ----(+τ%)----> (1+τ) ----(−τ%)----> (1−τ)(1+τ) = 1 − τ² ≠ 1
  le "−3%" retire davantage que le "+3%" car il part de plus haut : (1+τ) au lieu de 1
- Exemple : pour annuler une augmentation de 100% ( 100 -----> 200 ), il faut une réduction de 50% ( 200 -----> 100 )
- pour annuler une augmentation de τ% qui équivaut à multiplier par (1+τ),
  il faut multiplier par 1/(1+τ) qui est différent de (1−τ)
  quand τ est très petit, 1/(1+τ) ≈ (1−τ) car τ² est négligeable et (1−τ)(1+τ) ≈ 1
Exercices de bac
- bac ES Pondichéry 2011 Exercice 4 partie A : lecture graphique
- bac ES Pondichéry 2006 Exercice 4 partie 1 question 1 et partie 2 : calcul économique <--- très intéressant
Une entreprise fabrique des mugs. Soit x le nombre de mugs produits par mois et p_V le prix de vente.
- Le coût de production d'un mug est : 3 − 10⁻³x pour un nombre de mugs entre 1000 et 2000 (par mois).
  Le coût est constitué de :
  - l'amortissement et l'entretien de la machine,
  - les salaires mensuels, les matières premières, l'énergie, les heures supplémentaires
  - l'emballage, la livraison aux super-marchés.
  quels sont les coûts fixes ? les coûts variables ?
- Le nombre de mugs vendus dépend du prix de vente p_V
  pour p_V appartient à [1, 5] : le nombre de mugs vendus (par mois) = 2100 − 200 p_V
  Calculer le bénéfice par mug en fonction du nombre de mugs fabriqués et vendus.
  (on admet que les mugs sont fabriqués au fur et à mesure des ventes et qu'il n'y a pas d'invendu)
- Quel prix faut-il fixer pour maximiser le bénéfice global de l'entreprise ?

équations du second degré :

programme de calcul en javascript : solveur ax^2+bx+c=0

programme de calcul des racines d'une équation du second degré (en python) :

    def ax2bxc ( a, b, c ) :
        delta = b * b − 4 * a * c
        if delta < 0 : print "pas de solution"
        elif delta == 0 : print "x=", −b/(2*a)
        else : print "x1=", (−b − math.sqrt(delta)) / (2*a), \
                     " x2", (−b + math.sqrt(delta)) / (2*a)
        return
    ax2bxc ( 1, -5, 6 )

complément sur les suites
- suite arithmético-géométrique : u_n+1 = q u_n + r ; avec u₀ donné
  - tour de Hanoï : u_n = nombre de mouvement pour n pièces
  - u₁ = 1
  - u_n+1 = 2 u_n + 1
  - L = 2 L + 1 (équation "du point fixe" à résoudre) => L = −1
  - on soustrait (comme pour les systèmes d'équation)
    (u_n+1 − L) = 2 (u_n − L)
  - changement de suite : v_n = u_n − L
    v_n+1 = 2 v_n
    v_n est géométrique de raison 2 et de premier terme : v₁ = u₁ − L
    v_n
  - puis on en déduit la valeur de u_n : u_n = v_n + L

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