Cours de Math. 1^èreES du 03 Décembre 2013

• bac ES Pondichéry 2006 Exercice 4 partie 1 question 1 et partie 2 : calcul économique <--- très intéressant
• résoudre l'équation : 10/(1+x) − 1 = x/2
  Correction très détaillée.
  expliquer chaque étape élémentaire permet de comprendre profondément les mécanismes,
  avant qu'ils ne deviennent automatiques.
• Pour éliminer le dénominateur 2, on multiplie chaque membre par 2
  • principe :   A = B   <=>   2 A = 2 B
    ( équivalence "<=>" car on ne perd pas d'information )
  • 2 [ 10/(1+x) − 1 ] = 2 x/2
    bien multiplier les 2 termes "10/(1+x)" et "− 1" par 2
  • 20/(1+x) − 2 = x
  • ( remarque : multiplier par 2/2 ne ferait rien car = 1 )
• Pour éliminer le dénominateur (1+x), on multiplie chaque membre par (1+x)
  • principe :   A = B   <=>   (1+x) A = (1+x) B
    ( équivalence "<=>" car on ne perd pas d'information )
    ( remarque : x doit être différent de −1 pour le dénominateur (1+x) ≠ 0 )
    (         valeur interdite : −1 )
    (         ce qui est le cas car x ∈ [0 ; 9] )
  • (1+x) [ 20/(1+x) − 2 ] = (1+x) x
    bien multiplier les 2 termes "20/(1+x)" et "−2" par (1+x)
    de même, à gauche, bien multiplier les 2 termes "1" et "x" par x
  • 20 − 2(1+x) = x² + x
  • 20 − 2 − 2x = x² + x
  • 18 = x² + x + 2x
  • 0 = x² + 3x − 18
• résolution de l'équation
  • a = 1   ;   b = 3   ;   c = −18
  • Δ = b² − 4ac = 3² − 4 (1)(−18) = 9 + 4 × 18
  • Δ = 9 + 4 × 2 × 9 = 9 ( 1 + 4 × 2 ) = 9 ( 1 + 8 ) = 9²
    ( on laisse 9² qui contient plus d'information que 81 )
  • x = [ − b ± √Δ ] / ( 2 a )
  • x₁ = [ −3 − 9 ] / 2 = − 12/2 = −6
  • x₂ = [ −3 + 9 ] / 2 = 6/2 = 3
  • Vérification : somme des racines = −b/a = −3 ?
    x₁ + x₂ = −6 + 3 = −3   OK
  • Vérification : produit des racines = c/a = −18 ?
    x₁ × x₂ = −6 × 3 = −18   OK
  • en effet quand on développe le membre de droite factorisé :
    a x² + b x + c = a ( x − x₁ ) ( x − x₂ )
    • on divise chacun des 2 membres par a :
      x² + (b/a) x + (c/a) = ( x − x₁ ) ( x − x₂ )
    • x² + (b/a) x + (c/a) = x² − x₁ x − x₂ x + (− x₁) (− x₂)
    • x² + (b/a) x + (c/a) = x² − x ( x₁ + x₂ ) + x₁ x₂
    • x² + (b/a) x + (c/a) = x² − S x + P = 0
    • avec : S = x₁ + x₂ = −b/a
    • avec : P = x₁ × x₂ = c/a
• des 2 racines, il ne faut garder que 3 car −6 est en dehors du domaine de définition : [0 ; 9]
• Remarque : l'unité des surplus est : unité(x) × unité(y) = 10 €/boîte × 100 boîtes = 1000 €
• Rappels :
  • développement : a ( b + c ) = ab + ac
  • multiplication d'une fraction : ( a / b ) × c = a c / b
  • a / b = c / d : on multiplie par bd pour se débarrasser des dénominateurs : ad = bc
  • a / b = (ac) / (bc)
  • addition de 2 fractions : a / b + c / d = ad / (bd) + bc / (bd) = (ad + bc) / (bd)
• Les identités remarquables dans le sens de la factorisation contiennent de l'information à connaître.
  de même que les solutions de l'équation du second degré.

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