Cours de Math. 1^èreES du 04 Février 2014

• dérivées :
  • pente d'une droite passant par 2 points A (x_A, y_A) et B (x_B, y_B)
    • pente (ou coefficient directeur) : a = Δy / Δx = (y_B − y_A) / (x_B − x_A)
    • la droite passe par le point A : y − y_A = a (x − x_A)
    • Soit : y = a (x − x_A) + y_A
  • dérivée de f(x) au point x=a : pente de la tangente à la courbe de f(x) au point (a, f(a))
    • la dérivée de f(x) est notée f '(x)
    • f '(a) = limite de ( f(a+h) − f(a) ) / h quand h tend vers 0
  • pente de la droite y = a : la droite passe par les points : A (0, a), B (1, a)
    • pente = Δy / Δx = (y_B − y_A) / (x_B − x_A) = (a − a) / (1 − 0) = 0 / 1 = 0
    • la dérivée de la fonction f(x) = a est f '(x) = 0 pour tout x de R
  • pente de la droite y = a x : la droite passe par les points : A (0, 0), B (1, a)
    • pente = Δy / Δx = (y_B − y_A) / (x_B − x_A) = (a − 0) / (1 − 0) = a / 1 = a
    • la dérivée de la fonction f(x) = a x est f '(x) = a pour tout x de R
• équation paramétrique : valeurs de m permettant d'obtenir 2 racines distinctes
  • (4m + 1) x² − 4m x + m − 3 = 0
    m étant un paramètre : un nombre dont on fixera une ou plusieurs valeur ultérieurement.
    ce qui permet de résoudre plusieurs problèmes en même temps.
    • Pour avoir 2 racines réelles distinctes, il faut que Δ soit positif
    • équation a x² + b x + c = 0
    • avec a = 4m + 1   ;   b = − 4m   ;   c = m − 3
    • Δ = b² − 4ac
    • Δ = (− 4m )² − 4(4m + 1)(m − 3)
    • Δ = 16 m² − 4(4m² − 12m + m − 3)
      le facteur (−4) se distribue sur les 4 termes de la parenthèse.
    • Δ = 16 m² − 16m² + 48m − 4m + 12
    • Δ = 48m − 4m + 12
    • Δ = 44m + 12 > 0
    • 44m > −12
    • m > −12 / 44 = −3/11
    • l'équation a 2 racines pour m > −3/11
  • vérification que l'équation a une racine double pour m = −3/11
    • on remplace m par sa valeur : −3/11
    • l'équation devient : (4(−3/11) + 1) x² − 4(−3/11) x + (−3/11) − 3 = 0
    • en développant : (−12/11 + 1) x² − (−12/11) x − 3/11 − 3 = 0
    • en multipliant (à gauche et à droite) par 11 pour éliminer les dénominateurs :
      (−12 + 11) x² − (−12) x − 3 − 33 = 0
    • (−1) x² + 12 x − 36 = 0
    • − x² + 12 x − 36 = − ( x − 6 )² = 0
    • où 6 est une racine double.
  • exemple en remplaçant m par : √3
    la √3 va rester dans les expressions, ne se simplifiant que lorsqu'elle élevée au carré : √3² = 3
    (4√3 + 1) x² − 4√3 x + √3 − 3 = 0
• remboursement d'emprunt (et équation du second degré) : Une personne emprunte 120 euros à un ami,
  cet emprunt est sans intérêt : chaque mois il doit lui rembourser une somme fixe.
  En augmentant les mensualités de 1 euro la durée du remboursement diminuerait de 4 mois.
  Quel est le montant mensuel ?
  • choix des noms des inconnues :
    • m = montant des mensualités
    • n = nombre de mensualités
  • première phrase : remboursement de 120 € par n mensualités constantes :
    n × m = 120
  • deuxième phrase : remboursement de 120 € par (n − 4) mensualités constantes :
    (n − 4) × (m + 1) = 120
  • système de 2 équations à 2 inconnues.
    comme les équations ne sont pas linéaires, il faut appliquer la méthode de substitution :
    1) on calcule la variable que l'on veut éliminer en fonction de l'autre
    2) on la remplace dans l'autre équation.
  • on demande les mensualités m : on élimine le nombre de mensualités n
  • d'après la première équation : n = 120 / m   ( m est nécessairement ≠ 0)
  • remplacement dans la deuxième équation : (120/m − 4) × (m + 1) = 120
  • en développant : 120 + 120/m − 4m − 4 = 120
  • on simplifie les 120 : 120/m − 4m − 4 = 0
  • en multipliant par m pour éliminer le dénominateur : 120 − 4m² − 4m = 0
  • en réordonnant : − 4m² − 4m + 120 = 0
  • on simplifie par 4 : − m² − m + 30 = 0     (ce qui évite de simplifier à la fin)
  • équation du second degré en m :
    Δ = b² − 4ac = (−1)² − 4 (−1) × 30 = 1 + 120 = 121 = 11²
  • m₁ = (−b + √Δ) / (2a) = (1 + 11)/(2×(−1)) = 12/(−2) = −12/2 = −6   solution impossible
  • m₂ = (−b − √Δ) / (2a) = (1 − 11)/(2×(−1)) = −10/(−2) = 5
  • la mensualité initiale est de 5 €
  • Vérification : 120 = 5 × 24 = 6 × 20

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