Etude de fonctions

• Énoncé :
  • C_f est la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.
  • 1) On appelle f la fonction définie sur R par f(x)= ax³ + bx² + cx + d ,
    a, b, c, d étant quatre constantes réelles que l'on déterminera en utilisant les conditions suivantes :
    • C passe par O et admet en ce point une tangente de coefficient directeur −6
    • la dérivée de f s'annule pour les valeurs −1 et 3.
    Déterminer la fonction f.
  • On pourra admettre pour la suite que l'on a f(x) = 2/3 x³ − 2x² − 6x
  • 2) Donner une équation de la tangente T à C en 0. Préciser la position de C par rapport à T.
  • 3) Etudier les variations de f.
  • 4.0) Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
    4.1) En déduire l'étude des variations de la fonction g définie sur R par g(x) = x⁴ − 4x³ − 18x²
  • On ne calculera pas la valeur des extremums.
• 1) traduction de l'énoncé en 4 équations (pour 4 inconnues)
  • Le coefficient directeur de la tangente en O = dérivée de f au point O
    • rappel : dérivée de xⁿ : (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹
    • (a x³)' = 3 a x²
    • (b x²)' = 2 b x
    • (c x)' = c     (la pente de la droite y = c x est c)
    • (d)' = 0     (la pente de la droite y = d est nulle)
    • f '(x) = 3 a x² + 2 b x + c
  • O appartient à C_f : les coordonnées de O (0 ; 0) vérifient l'équation y = f(x)
    0 = a × 0³ + b × 0² + c × 0 + d = d
  • La pente de la tangente en O est −6 = f '(0) = c
  • les dérivées en −1 et 3 sont nulles : f '(−1) = 0 et f '(3) = 0
  • on remplace d = 0 et c = − 6 par leurs valeurs
  • équation 1 : f '(−1) = 0   soit : 3 a (−1)² + 2 b (−1) − 6 = 0
    équation 2 : f '(3) = 0   soit : 3 a (3)² + 2 b (3) − 6 = 0
  • équation 1 : 3 a − 2 b − 6 = 0
    équation 2 : 27 a + 6 b − 6 = 0
  • calcul de a par combinaison pour éliminer b :

    équation 1 :	3 a	− 2 b	=	6	||	× 3
    équation 2 :	27 a	+ 6 b	=	6	||	× 1

    équation 1 :	9 a	− 6 b	=	18
    équation 2 :	27 a	+ 6 b	=	6
    somme :	36 a	+ 0	=	24

    a = 24 / 36 = ( 2 × 12 ) / ( 3 × 12 ) = 2/3
  • substitution de a pour trouver b dans la première équation :
    • 3 a − 2 b = 6
    • 3 × 2 / 3 − 2 b = 6
    • 2 − 2 b = 6
    • − 2 b = 6 − 2
    • − 2 b = 4
    • b = 4 / (−2) = −2
  • équation de f(x) : f(x) = (2/3) x³ − 2 x² − 6 x
• 2) Equation de la tangente à C en O (x₀=0 ; y₀=0) :
  • y = f '(x₀) (x − x₀) + y₀
  • y = f '(0) (x − 0) + 0
  • f '(0) = −6 (d'après l'énoncé)
  • Equation de la tangente à C en O : y = − 6 x
  • Position de C_f par rapport à la tangente :
  • on étudie le signe de : f(x) − y     ( avec y = − 6 x )
  • f(x) − y = (2/3) x³ − 2 x² − 6 x − (− 6 x ) = (2/3) x³ − 2 x²
  • Pour étudier le signe, il faut factoriser : facteur commun 2 x²
    f(x) − y = 2 x² ( x / 3 − 1 )
    2 x² est toujours positif ou nul
    x / 3 − 1 > 0   pour :   x / 3 > 1   soit :   x > 3
    en x=0 : x / 3 − 1 < 0   donc :   f(x) − y < 0
    f(x) < y : la courbe C_f est au-dessous de la tangente
• 3) Variation de f :
  • f est croissante quand sa dérivée est positive
  • f est décroissante quand sa dérivée est négative
  • dérivée de f(x) :   f '(x) = (2/3) (3x²) − 2 (2x) − 6
    f '(x) = 2x² − 4x − 6
  • signe de f '(x) :   la dérivée possède 2 racines −1 et 3
    f '(x) est du signe du coefficient de x² à l'extérieur des racines

    x	−∞	−1		3	+∞
    signe de f '(x)	+	0	−	0	+
    variation de f(x)	croissante		décroissante		croissante

• 4.1) Etudier le signe de f(x)
  • f(x) peut changer de signe en traversant l'axe Ox : quand f(x) = 0
  • résolution de l'équation f(x) = 0 :   il faut la factoriser
  • facteur commun entre les 3 termes de f(x) : 2x
  • f(x) = (2/3) x³ − 2 x² − 6 x     ( facteur commun aux 3 termes : 2x )
  • f(x) = 2x [ (1/3) x² − x − 3 ]
  • racines de [ (1/3) x² − x − 3 ] :   a = 1/3   b = −1   c = −3
  • Δ = b² − 4 a c = 1 − 4 (1/3) (−3) = 1 + 4 = 5
  • x = ( −b ± √Δ ) / (2a) = ( 1 ± √5 ) / (2/3)
  • x₁ = 3 ( 1 − √5 ) / 2 ≈ − 1,85
  • x₂ = 3 ( 1 + √5 ) / 2 ≈ + 4,85

    x	−∞	3(1−√5)/2		0		3(1+√5)/2	+∞
    signe de 2x	−	−	−	0	+	+	+
    signe de (1/3)x2 −x −3	+	0	−	−	−	0	+
    signe de f(x)	−	0	+	0	−	0	+

• 4.2) g(x) = x⁴ − 2x³ − 18x²
  • Déduire de 4.1) la variation de g
    Quel est le rapport entre g(x) et f(x) ?
    g'(x) = 4 x³ − 2×3x² − 18×2x = 4x³ − 12x² − 36x = 6 f(x)
    g'(x) a le même signe que f(x)

    x	−∞	3(1−√5)/2		0		3(1+√5)/2	+∞
    signe de g'(x)	−	0	+	0	−	0	+
    variation de g(x)	décroissante		croissante		décroissante		croissante

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