Cours du 11 Mars 2014 : étude de fonction

• Énoncé :
  • C_f est la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.
    On appelle f la fonction définie sur R par f(x) = x³ − x² − 9x + 9
  • 1) Déterminer f '(x)
  • 2) Faire le tableau de signe de f '(x)
  • 3) Ajouter au tableau précédent les variations de la fonction f(x)
    vérifier avec la calculatrice
  • 4) Déterminer la tangente T au point d'abscisse 2 de C_f
    indication : f '(2) est le coefficient de la tangente, le point (2, f(2)) appartient à la courbe et à la tangente.
  • 5.1) Déterminer la tangente D au point d'abscisse 0 de C_f
  • 5.2) Déterminer la position de la courbe C_f par rapport à la tangente D au point d'abscisse 0
    indication : on étudiera le signe de f(x) − y
    indication : pour étudier le signe, il faut factoriser f(x) − y
  • 6.1) vérifier que x = 1 est une racine de f(x)
  • 6.2) mettre f(x) sous la forme (x−1) (ax² + bx + c)
    indication : on développera et on imposera que les coefficients de x³ soient égaux
    de même pour les coefficients de x² puis x puis le terme constant
  • 6.3) en déduire les 2 autres racines
• 1) dérivée de xⁿ : n xⁿ⁻¹
  f '(x) = 3x² − 2x − 9
  a = 3   ;   b = −2   ;   c = −9
• 2) signe de f '(x)
  racines de f '(x) : Δ = b² − 4ac = (−2)² − 4(3)(−9) = 4 + 108 = 112 = 4 × 28 = 4 × 4 × 7
  f '(x) est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines
  x₁ = ( −b − √Δ ) / (2a) = ( 2 − 4 √7 ) / 6 = ( 1 − 2 √7 ) / 3
  x₂ = ( −b − √Δ ) / (2a) = ( 2 + 4 √7 ) / 6 = ( 1 + 2 √7 ) / 3
• 3) f(x) est croissante à l'extérieur des racines et décroissante entre les racines
• 4) point de C_f : x=2 → y = f(2) = 8 − 4 − 18 + 9 = 17 − 22 = −5
  f '(2) = 12 − 4 − 9 = 12 − 13 = −1
  équation de la tangente en x = 2 : y = f '(2) ( x − 2 ) + f(2) = −1 ( x − 2 ) − 5 = − x + 2 − 5 = − x − 3
• 5.1) x = 0 → f(0) = 9 → f '(0) = −9
  équation de la tangente en x = 0 : y = f '(0) ( x − 0 ) + f(0) = −9 x + 9
• 5.2) position de C_f par rapport à la tangente en x=0 :
  signe de f(x) − y(x) = x³ − x² − 9x + 9 − ( −9 x + 9 ) = x³ − x² = x² ( x − 1 )
  positif pour ( x − 1 ) > 0   soit :   x > 1
  négatif pour ( x − 1 ) < 0   soit :   x < 1
  au voisinage de 0   ( 0 < 1 )   f(x) − y(x) < 0   soit :   f(x) < y(x) : la courbe C_f est au-dessous de la tangente en x=0
• 6.1) x=1   ;   f(1) = 1 − 1 − 9 + 9 = 0
  f(1) = 0 : 1 est une racine de f(x)
• 6.2) f(x) = (x−1)(ax² + bx + c) = ax³ + bx² + cx − ax² − bx − c = ax³ + (b−a) x² + (c − b) x − c
  à comparer à : x³ − x² − 9x + 9
  a = 1
  b − a = −1
  c − b = −9
  −c = 9   d'où : c = −9
  b = −1 + a = −1 + 1 = 0
  f(x) = (x − 1) (x² − 9)
• 6.3) x² − 9 = x² − 3² = ( x − 3 ) ( x + 3 )
  f(x) = (x − 1) ( x − 3 ) ( x + 3 )
  les 3 racines de f(x) sont : 1 , 3 et −3

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