Cours du 18 Mars 2014 : étude de fonction

• Equation d'une droite (D) :
  • si le point A (x_A ; y_A) appartient à la droite (D) : y = a ( x − x_A ) + y_A
    en effet : pour x = x_A , on a : y = y_A
  • si la droite passe par les points A (x_A ; y_A) et B (x_B ; y_B)
    sa pente ou coefficient directeur : a = Δy / Δx = ( y_B − y_A ) / ( x_B − x_A )
  • si la droite est tangente à la courbe C_f de f(x) au point A :
    a = f '(x_A)
    l'équation de la tangente est donc : y = f '(x_A) ( x − x_A ) + y_A
    ou encore : y = f '(x_A) ( x − x_A ) + f(x_A)
• Limite d'une expression E(x) quand x tend vers a :
  • on remplace x par a : limite de E(x) = E(a) s'il n'y a pas d'indétermination
  • calcul d'une dérivée : limite de ( f(a+h) − f(a) ) / h quand h tend vers 0
    ( f(a+h) − f(a) ) tend vers 0
    et h tend aussi vers 0
    0 / 0 est une forme indéterminée : pour "lever l'indétermination", il faut simplifier par h
  • exemples simples : pour h tendant vers 0
    • h² / h (indéterminée) = h (qui tend vers 0) quand h tend vers 0
    • h / h (indéterminée) = 1 (qui tend vers 1) quand h tend vers 0
    • h / h² (indéterminée) = 1 / h (qui tend vers l'infini) quand h tend vers 0
• dérivée de f(x) = xⁿ est : f '(x) = n xⁿ⁻¹
  • ( a ) ' = 0
  • ( x ) ' = 1
  • ( a x + b ) ' = a
  • ( x² ) ' = 2 x
  • ( x³ ) ' = 3 x²
• Pour étudier le signe de la dérivée f '(x) , il faut la factoriser.
  • si la dérivée f '(x) est positive, alors la fonction f(x) est croissante
  • si la dérivée f '(x) est négative, alors la fonction f(x) est décroissante
• position de C_f par rapport à la tangente en x = x_A :
  • On étudie le signe de f(x) − y(x) au voisinage de x_A
  • f(x) − y(x) > 0   équivaut à :   f(x) > y(x)   ( C_f est au-dessus de sa tangente )
  • f(x) − y(x) < 0   équivaut à :   f(x) < y(x)   ( C_f est au-dessous de sa tangente )
• Si un polynôme P(x) s'annule pour x = a   ( P(a) = 0 )
  • alors, on peut factoriser (x − a)
  • P(x) = (x − a) × Q(x)
• Apprendre à développer (x+h)³ , (x+h)⁴ , ... sans se tromper :
  • résultat à obtenir : (x+h)³ = x³ + 3 x²h + 3 xh² + h³
  • résultat à obtenir : (x+h)⁴ = x⁴ + 4 x³h + 6 x²h² + 4 xh³ + h⁴
• Equation de la parabole (P) passant par les 3 points : A (−1 ; 2) , B (1 ; 1) , C (2 ; 3 )
  • Traduire le fait que chaque point appartient à la parabole (P)
  • ...
  • Vérifer que chacun des 3 points vérifient l'équation obtenue.

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