Cours de Math. 1ère ES

Cours du 25 Mars 2014 : dérivées

Interprétation graphique :
- si la fonction f(x) est croissante, alors la dérivée f '(x) est positive (monte vers la droite)
- si la tangente est horizontale, alors la dérivée est nulle. Souvent pour un minimum ou un maximum.
- si la fonction f(x) est décroissante, alors la dérivée f '(x) est négative (descend vers la droite)
- mesure de la dérivée : pente de la tangente = Δy / Δx
  prendre Δx = +1 (vers la droite) −> Δy = f '(x)
dérivée de f(x) = xⁿ est : f '(x) = n xⁿ⁻¹
- ( a ) ' = 0
- ( x ) ' = 1
- ( a x + b ) ' = a
- ( x² ) ' = 2 x
- ( x³ ) ' = 3 x²
- ( 1 / x ) ' = − 1 / x²
  cas n = −1 : 1 / x = x⁻¹ sa dérivée : (−1) x⁻²
- ( √x ) ' = 1 / ( 2 √x )
  cas n = 1/2 : √x = x^1/2 sa dérivée : (1/2) x^−1/2
dérivée d'une fonction composée : x −> u(x) −> f(u(x))
- f '(x) = df / dx
- f '(u(x)) = df / dx = ( df / du ) × ( du / dx ) = f '(u) × u'
- exemple 1 : f(x) = (3x+1)² = f(u)= u² avec u = 3x+1 ; donc u' = 3
  f '(x) = f '(u) u' = 2 u × 3 = 6(3x+1) = 18x + 6
- exemple 2 : f(x) = 5/(3x+1) = f(u)= 5/u avec u = 3x+1 ; donc u' = 3
  f '(x) = f '(u) u' = ( −5/u² ) × 3 = −15 / (3x+1)²
dérivée des opérations :
- dérivée d'une somme : (u + v) ' = u' + v'
- dérivée d'un produit : (u × v) ' = u' v + u v'
- dérivée d'un quotient : (u / v) ' = ( u' v − u v' ) / v²