Étudier suivant les valeurs de x le signe de l'expression P(x)=(x − 2)2 (x2 + 4x + 36)
pour étudier le signe d'une expression, il faut la factoriser et faire un tableau de signes :
x
−∞
2
+∞
(x − 2)2
+
0
+
un carré est toujours positif ou nul
x2 + 4x + 36
+
+
+
Δ = 42 − 4 × 36 < 0 : toujours du signe de a > 0
P(x)
+
0
+
f est la fonction définie sur R par :
f(x) = (x3 + x2 + 12x + 76) /
(x2 + 12) .
Déterminer les 3 réels a, b et c tels que, pour tout réel x, on ait : f(x) = ax + b + c/(x2 + 12)
l'équation suivante doit être vraie quel que soit x
ce qui impose que chacun des termes de x de part et d'autre du signe égal soient égaux.
si l'on rassemble tout à droite du signe égal,
il faut que chaque terme en x soit nul.
on réduit au même dénominateur :
(x3 + x2 + 12x + 76) /
(x2 + 12) =
[ (ax + b)(x2 + 12) + c ] / (x2 + 12)
les dénominateurs étant égaux (et non nuls), on peut multiplier chaque membre par (x2 + 12)
(x3 + x2 + 12x + 76) =
(ax + b)(x2 + 12) + c
x3 + x2 + 12x + 76 =
ax3 + bx2 + 12ax + 12b + c
Identification de chaque terme :
coefficient de x3 : 1 = a
coefficient de x2 : 1 = b
coefficient de x : 12 = 12a
terme constant : 76 = 12b + c
a = 1
b = 1
c = 76 − 12b = 76 − 12 = 64
d'où f(x) = x + 1 + 64/(x2 + 12)
Calculer la dérivée de la fonction f ; vérifier que l'on a : f '(x) = P(x) / (x2 + 12)2
f (x) = u / v
avec u = x3 + x2 + 12x + 76
u' = 3x2 + 2x + 12
avec v = x2 + 12
v' = 2x
f '(x) = ( u' v − u v' ) / v2 en remplaçant u, u', v et v' par leurs valeurs :
f '(x) =
[ (3x2 + 2x + 12) (x2 + 12)
− (x3 + x2 + 12x + 76) 2x ] /
(x2 + 12)2 f '(x) =
( 3x4 + 2x3 + 12x2
+ 36x2 + 24x + 144
− 2x4 − 2x3
− 24x2 − 152x ) /
(x2 + 12)2 f '(x) =
( x4 + 24x2 − 128x + 144) /
(x2 + 12)2 à comparer à P(x) / (x2 + 12)2 les dénominateurs sont égaux.
P(x) est sous la forme factorisée.
Pour le comparer au numérateur,
il faut le développer.
P(x) = (x − 2)2 (x2 + 4x + 36)
P(x) = (x2 − 4x + 4)
(x2 + 4x + 36)
P(x) = x4 − 4x3 + 4x2
+ 4x3 − 16x2 + 16x
+ 36x2 − 144x + 144
P(x) = x4 + 24x2
− 128x + 144
Le numérateur de f '(x) est bien P(x)
donc f '(x) = P(x) / (x2 + 12)2
En déduire le signe de f '(x) puis dresser le tableau de variation de f.
x
−∞
2
+∞
P(x)
+
0
+
f '(x)
+
0
+
f(x)
croissante
tangente horizontale
décroissante
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (0, i, j),
on désigne par (D) la droite d'équation y = x+1 et par (C) la courbe représentative de f.
Étudier la position de (C) par rapport à (D).
Pour étudier la position d'une courbe par rapport à une droite, on étudie le signe de leur différence :
f(x) − y(x)
si f(x) − y(x) > 0 on en déduit f(x) > y(x)
soit que la courbe (C) est au-dessus de (D)