Cours de Math. 1^èreES du 01 Juillet 2014 Dérivées

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• Sujet bac ES 2013 étranger : Enoncé     Corrigé
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• Erreurs rencontrées :
  • oubli de parenthèses autour de 2 sommes
    quand on remplace une variable par une expression, il faut l'entourer de parenthèses
    en particulier un produit de 2 variables qui sont des sommes :
    exemple u'v − v'u = (ax+b)(cx+d) − (ex+f)(gx+h)
  • erreurs de signe : toujours écrire des signes + ou − très lisibles.
  • simplification de fraction :
    si on peut diviser TOUT le numérateur et TOUT le dénominateur par le même nombre.
  • exemple : (a x² + b x) / (c x² + d x)
    on peut diviser TOUT le numérateur par x : (a x² + b x) = x (a x + b)
    on peut diviser TOUT le dénominateur par x : (c x² + d x) = x (c x + d)
    (a x² + b x) / (c x² + d x) = (a x + b) / (c x + d)
  • signe de ax+b : signe de a à droite de −b/a
    0 en −b/a     et signe de (−a) à gauche de −b/a
    Dans un tableau de signe qui ne va pas de −∞ à +∞,
    ne pas confondre le 0 des expressions précédentes avec le 0 de la première ligne x
  • x⁶ / x² = x x x x x x / ( x x ) = x x x x = x⁴
    règle : x^a × x^b = x^a+b
    règle : x^a / x^b = x^a−b
  • Quand la dérivée est positive : la pente de la tangente est positive,
    la tangente "monte" vers la droite     et la fonction est croissante
  • quand la dérivée est négative : la fonction est décroissante
• Enchaînement logique du calcul d'une dérivée compliquée :
  • f(x) = (a x² + b x + c) / (dx + e)
  • f(x) peut s'écrire sous la forme u/v avec u = a x² + b x + c   et   v = dx + e
  • la dérivée de f(x) est f '(x) = (u/v)' = (u'v−v'u)/v²
  • on a besoin de : u' = 2ax + b     et     v' = d
  • f '(x) = [(2ax + b)(dx + e) − d(a x² + b x + c)] / (dx + e)²
  • .......
• Signe de xⁿ :

  	x	−∞	0	+∞
  n pair :	x2p	+	0	+	(toujours positif)
  n impair :	x2p+1	−	0	+	(du signe de x)

• Variables aléatoires discrètes : exemple
  • a = 2 avec une proba. de 40% et 3 avec une proba. de 60%

    a	2	3
    proba.	0,4	0,6

  • b = 5 avec une proba. de 30% et 6 avec une proba. de 70%

    a	5	6
    proba.	0,3	0,7

  • Calculer : c = a + b
    Faire un arbre partant de a   puis des branches partant de b
      faire les sommes pour les 4 cas possibles,
      enfin : regrouper les termes égaux.

    a	b	c=a+b
    2 (proba. 0,40)	5 (proba.0,30)	2+5=7 (proba. 0,4×0,3=0,12)
    	6 (proba. 0,70)	2+6=8 (proba. 0,4×0,7=0,28)
    3 (proba. 0,60)	5 (proba.0,30)	3+5=8 (proba. 0,6×0,3=0,18)
    	6 (proba. 0,70)	3+6=9 (proba. 0,6×0,7=0,42)

  • réponse : valeur de c :

    c	7	8	9
    proba.	0,12	0,46	0,42

• Calculer la somme (dé 1 + dé 2) de 2 tirages de dés à jouer (à 6 faces 1 .. 6)

  dé 1	1	2	3	4	5	6
  proba.	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

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