Résoudre une équation f(x) = 0   (répertoire)

• Résoudre une équation (en x) , c'est rechercher la valeur de x telle que f(x) = 0
  • exemple : f(x) = 2 x + 3
  • pour x = 1, f(x) = f(1) = 5 ≠ 0 : 1 n'est pas une solution de f(x) = 0
  • x = −3/2, f(x) = f(−3/2) = 0 : −3/2 est une solution de f(x) = 0
  • Interprétation graphique : les solutions sont les intersections de la courbe C(y=f(x)) avec l'axe Ox (y=0)
• Premier cas : f(x) est linéaire ou affine : f(x) = a x + b
  • résoudre : f(x) = a x + b = 0
  • On passe le "b" à droite du signe = en ajoutant (−b) de chaque côté du signe =
    OU : On passe le "b" à droite du signe = en soustrayant b de chaque côté du signe =
    a x = −b
  • On passe le "a" à droite du signe = en divisant par a de chaque côté du signe =
    OU : On passe le "a" à droite du signe = en multipliant par (1/a) de chaque côté du signe =
    x = −b / a
• Autre cas : f(x) est plus compliquée : il faut la factoriser
  • car A × B = 0 <=> A = 0 ou B = 0
  • factoriser permet d'obtenir plusieurs équations plus simples.
  • exemple : (2 x + 3) (3 x + 5) = 0   =>   (2 x + 3)=0 ou (3 x + 5)=0   =>   x = −3/2 ou x = −5/3
    il y a 2 solutions à cette équation.
• méthodes de factorisation :
  • factoriser la somme : A + B
  • on recherche le facteur commun à A et B, et on le met en facteur.
  • exemple : x² + 2 x
  • le facteur commun à ces 2 termes est x : on le met en facteur
  • x² + 2 x = x × x + 2 x = x ( x + 2 )   [distributivité de × par rapport à + : a(b+c) = ab+ac]
    en redéveloppant, on vérifie que l'on retrouve la valeur de départ.
  • x ( x + 2 ) = 0 => x = 0   OU   x+2=0 => x = −2   (il y a 2 solutions)
• factorisation à l'aide des identités remarquables :
  • a² + 2 a b + b² = (a + b)²
  • a² − 2 a b + b² = (a − b)²
  • a² − b² = (a − b) (a + b)
    il n'est pas évident de voir qu'il y a un facteur (a + b) dans l'expression a² − b²
    Mais comme a² − b² = 0 si a = b, c'est que (a − b) doit se mettre en facteur.
    de même si a = −b, c'est que (a + b) doit se mettre en facteur.

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