Équation et Fonction du seconde degré

• ressources :
  • google(Fonction du second degré) donne : Fonction du second degré
  • google(équation du second degré) donne : Équation du second degré
• Etude de la fonction : f(x) = ax² + bx + c
  La courbe représentative de la fonction : y = f(x) = ax² + bx + c est une parabole
  • Domaine de définition : tous les réels R
  • une fonction en forme de U si a > 0
  • une fonction en forme de ∩ si a < 0
  • On peut connaître la direction de ses bras pour x → ±∞
    le terme ax² est alors dominant : x² > 0 donc ax² est du signe de a
• Forme canonique : f(x) = a [x + b/(2a)]² − Δ/(4a) = a [x − x₀]² + y₀
  avec : Δ = b²−4ac
  f(x) est minimum (ou maximum) pour x₀ + b/(2a) = 0 (le terme carré nul)
    soit :   x₀ = −b/(2a) c'est l'abscisse du sommet de la parabole.
  Les coordonnées du sommet sont : (x₀, y₀) = (−b/(2a), − Δ/(4a))
  Cette parabole a la même forme que la parabole : y = ax² donc le sommet est à l'origine O (0, 0).
  • translatée en x de −b/(2a) : y = a[x + b/(2a)]²
  • translatée en y de −Δ/(4a) : y = ax² − Δ/(4a)
  Equation y − y₀ = a (x − x₀)² : c'est la parabole y = a x² translatée du vecteur (x₀, y₀)
• Si cette fonction coupe l'axe Ox, alors on a : y = ax² + bx + c = 0
  c'est l'équation du second degré avec ses 2 racines (Δ = b²−4ac > 0)
• Si cette fonction est tangente à l'axe Ox, alors on a : y = ax² + bx + c = 0
  c'est l'équation du second degré avec une seule racine (Δ = b²−4ac = 0)
  on dit que cette racine est double car ce sont les 2 racines qui se sont confondues.
• Si cette fonction ne coupe pas l'axe Ox, alors on n'a jamais : y = ax² + bx + c = 0
  l'équation n'a pas de solution. (Δ = b²−4ac < 0)
• tableau de signes de la courbe y = ax² + bx + c
  • règle 1 : y est du signe de a à l'extérieur des racines y est du signe contraire de a entre les racines.
  • OU règle 2 : y est du signe de a, sauf entre les racines. => s'il n'y a pas de racine : y est toujours du signe de a.
• tableau des signes (et de variation)
  • à l'horizontale, on représente l'axe Ox avec les valeurs remarquables :
    On note "+" pour y > 0
    et "−" pour y < 0
    avec x1 < x2 :
  • Si a > 0 :

    x	−∞		x1				x2		+∞
    signe(y)	+	+	0	−			0	+	+
    x	−∞		x1		−b/(2a)		x2		+∞
    variation(y)	+∞	décroît ↓	0	décroît ↓	minimum	croît ↑	0	croît ↑	+∞

  • Si a < 0 :

    x	−∞		x1				x2		+∞
    signe(y)	−	−	0	+			0	−	−
    x	−∞		x1		−b/(2a)		x2		+∞
    variation(y)	−∞	croît ↑	0	croît ↑	maximum	décroît ↓	0	décroît ↓	−∞

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