Exercice : On dépose 1000 € chaque année sur un compte rémunéré à 5%
Les intérêts resteront sur le compte (intérêts composés).
Le premier dépôt a lieu le 1er Janvier 2000.
On déposera 1000 € chaque 1er Janvier jusqu'en 2010 inclus.
On retirera tout l'argent du compte le 1er Janvier 2011.
Quelle somme y aura-t-il sur le compte à ce moment là ?
- Trouver la formule donnant la valeur des 1000 premiers € au 1er Janvier 2011 ?
Soit u0 = 1000 au 1er Janvier 2000
u1 = 1000 × 1.05 au 1er Janvier 2001
...
u11 = 1000 × 1.0511 au 1er Janvier 2011
- Les 1000 € placés le 1er Janvier 2001
auront été placés 1 an de moins.
Ils vaudront u10 = 1000 × 1.0510 au 1er Janvier 2011
-
...
- Les 1000 € placés le 1er Janvier 2010
auront été placés pendant 1 an.
Ils vaudront u1 = 1000 × 1.05 au 1er Janvier 2011
-
La somme totale présente sur le compte au 1er Janvier 2011
est donc :
S = u1 + u2 + ... + u10 + u11
- première méthode :
on met u1 en facteur :
S = u1 ( 1 + q + ... + q10 )
Attention : en mettant u1 en facteur,
l'exposant du dernier terme a été diminué de 1
Puis on applique la formule S = u1 ( 1 - q11 ) / ( 1 - q )
Soit : S = 1000 × 1.05 ( 1 - 1.0511 ) / ( 1 - 1.05 )
S = 14917 €
- deuxième méthode :
Moins intéressante ici car nous n'avons pas le dernier terme : il faut le calculer.
on applique la formule S = ( u1 - q u11 ) / ( 1 - q )
S = (1000 × 1.05 - 1.05 × 1000 × 1.0511 ) / ( 1 - 1.05 )
Simplification avant calcul : on met 1000 en facteur.
S = 1000 ( 1.05 - 1.05 × 1.0511 ) / ( 1 - 1.05 )
S = 1000 ( 1.05 - 1.0512 ) / ( 1 - 1.05 )
S = 14917 €
Remarque :
le même exercice, mais avec les intérêts simples donnait un peu moins : S = 14300 €