Exercice : On dépose 1000 € chaque année sur un compte rémunéré à 5%
Les intérêts resteront sur le compte (intérêts composés).
Le premier dépôt a lieu le 1^er Janvier 2000.
On déposera 1000 € chaque 1^er Janvier jusqu'en 2010 inclus.
On retirera tout l'argent du compte le 1^er Janvier 2011.
Quelle somme y aura-t-il sur le compte à ce moment là ?

1. Trouver la formule donnant la valeur des 1000 premiers € au 1^er Janvier 2011 ?
   Soit u₀ = 1000 au 1^er Janvier 2000
   u₁ = 1000 × 1.05 au 1^er Janvier 2001
   ...
   u₁₁ = 1000 × 1.05¹¹ au 1^er Janvier 2011
2. Les 1000 € placés le 1^er Janvier 2001 auront été placés 1 an de moins.
   Ils vaudront u₁₀ = 1000 × 1.05¹⁰ au 1^er Janvier 2011
3. ...
4. Les 1000 € placés le 1^er Janvier 2010 auront été placés pendant 1 an.
   Ils vaudront u₁ = 1000 × 1.05 au 1^er Janvier 2011
5. La somme totale présente sur le compte au 1^er Janvier 2011 est donc :
   S = u₁ + u₂ + ... + u₁₀ + u₁₁
   • première méthode :
     on met u₁ en facteur :
     S = u₁ ( 1 + q + ... + q¹⁰ )
     Attention : en mettant u₁ en facteur, l'exposant du dernier terme a été diminué de 1
     Puis on applique la formule S = u₁ ( 1 - q¹¹ ) / ( 1 - q )
     Soit : S = 1000 × 1.05 ( 1 - 1.05¹¹ ) / ( 1 - 1.05 )
     S = 14917 €
   • deuxième méthode : Moins intéressante ici car nous n'avons pas le dernier terme : il faut le calculer.
     on applique la formule S = ( u₁ - q u₁₁ ) / ( 1 - q )
     S = (1000 × 1.05 - 1.05 × 1000 × 1.05¹¹ ) / ( 1 - 1.05 )
     Simplification avant calcul : on met 1000 en facteur.
     S = 1000 ( 1.05 - 1.05 × 1.05¹¹ ) / ( 1 - 1.05 )
     S = 1000 ( 1.05 - 1.05¹² ) / ( 1 - 1.05 )
     S = 14917 €

Remarque : le même exercice, mais avec les intérêts simples donnait un peu moins : S = 14300 €