Factorisation polynôme second degré   (répertoire)

• ressource :
  Déterminer la forme canonique d'une fonction du second degré - Première
• 3 identités remarquables :
  1) a² + 2 a b + b² = (a + b)²
  2) a² − 2 a b + b² = (a − b)²
  3) a² − b² = (a − b) (a + b)
  exercice : développer les membres de droite pour retrouver les membres de gauche.
• Polynôme du second degré :
  • forme développée : a x² + b x + c
  • forme canonique : a (x − α)² + β
    Si β est du signe contraire de a : on peut factoriser (en utilisant l'identité remarquable 3)
    forme canonique : a (x + b/(2a))² − (b²−4ac)/(4a)
    Discriminant : Δ = b² − 4 a c
    Tracé de la parabole y = a (x − α)² + β
    orientée vers le haut si a > 0
    minimum/maximum : x = α   ;   y = β
    minimum/maximum : x = −b/(2a)   ;   y = −(b²−4ac)/(4a) = −Δ/(4a)
  • forme factorisée : a (x − x₁) (x − x₂)
• factoriser : 3 x² + 6 x − 45
  • On voit que 3 est un facteur commun :
    3 ( x² + 2 x − 15 )
    x² + 2 x − 15 est-il de la forme a² + 2 a b + b² ?
    Comparaison terme à terme :
    a² = x² donc a = x (ou −x)
    2 a b = 2 x donc b = 1
    incompatible avec b² = −15
    On : (a + b)² = (x + 1)² = x² + 2 x + 1 au lieu de x² + 2 x − 15
    REMARQUE : le signe "−" devant le seul 15 empêche d'utiliser directement les identités remarquables.
  • MÉTHODE GÉNÉRALE :
    x² + 2 x est le début du développement du carré (x+1)² = x² + 2 x + 1
    x² + 2 x = (x+1)² − 1
    x² + 2 x − 15 = (x+1)² − 1 − 15 = (x+1)² − 16
    . . . = (x+1)² − 4² = [x+1 − 4] [x+1 + 4] = (x − 3) (x + 5)
    Résultat : 3 x² + 6 x − 45 = 3 (x − 3) (x + 5)
  • Résolution générale :
    Par contre, on peut résoudre l'équation du second degré : a x² + b x + c = 0
    a = 3   ;   b = 6   ;   c = −45
    Ce qui revient à la factoriser : soient x₁ et x₂ les racines
    Alors : a x² + b x + c = a (x − x₁) (x − x₂) = 0
    Discriminant : Δ = b² − 4 a c = 6² − 4 × 3 × (−45) = 36 + 540 = 576 = 24²
    racines : x = ( − b ± √Δ ) / ( 2 a )
    x = ( − 6 ± 24 ) / ( 6 )
    x₁ = ( − 6 − 24 ) / 6 = − 30 / 6 = −5
    x₂ = ( − 6 + 24 ) / 6 = 18 / 6 = 3
    Donc : 3 x² + 6 x − 45 = a (x − x₁) (x − x₂)
    . . . = 3 (x + 5) (x − 3)
  • VÉRIFICATION :
    les racines doivent annuler l'expression : 3 x² + 6 x − 45
    x = −5 donne : 3 (−5)² + 6 (−5) − 45 = 75 − 30 − 45 = 0
    x = 3 donne : 3 (3)² + 6 (3) − 45 = 27 + 18 − 45 = 0
    Il n'y a pas d'erreur sur les racines.
  • Autre vérification : on redéveloppe l'expression factorisée :
    3 (x − 3) (x + 5) = 3 [ x (x + 5) − 3 (x + 5)]
    . . . = 3 [ x² + 5x − 3x − 15 ]
    . . . = 3 [ x² + 2x − 15 ]
    . . . = 3 x² + 6x − 45
    OK
• MÉTHODE GÉNÉRALE : a x² + b x + c = a [ x² + (b/a) x + (c/a) ]
  x² + (b/a) x est le début du développement du carré [x + (b/(2a))]² = x² + 2 x (b/(2a)) + b²/(2a)²
  x² + (b/a) x = [x + (b/(2a))]² − b²/(2a)²
  x² + (b/a) x + (c/a) = [x + (b/(2a))]² − b²/(2a)² + (c/a)
  . . . = [x + (b/(2a))]² − b²/(2a)² + (4ac/(2a)²)
  . . . = [x + (b/(2a))]² − (b² − 4ac)/(2a)²
  . . . = [x + (b/(2a))]² − (Δ)/(2a)²
  . . . = [x + (b/(2a))]² − (√Δ)²/(2a)²
  . . . = [x + (b/(2a))]² − (√Δ/(2a))²
  . . . = a² − b² = (a − b) (a + b)
  . . . = [ x + b/(2a) − √Δ/(2a) ] [ x + b/(2a) + √Δ/(2a) ]
  . . . = (x − x₁) (x − x₂)
  On remet le facteur a :
  a x² + b x + c = a (x − x₁) (x − x₂)
• Quand une valeur x=x₁ annule une expression polynômiale,
  on peut mettre (x − x₁) en facteur
• Si le discriminant : Δ = b² − 4 a c < 0
  Alors, on ne peut pas en prendre la racine, donc il n'y a pas de racines réelles.
  (REMARQUE : il y a toutefois des racines complexes)
  On ne peut pas factoriser.
  Par exemple : x² + 1 n'est pas factorisable dans ℝ
  Car il faudrait pouvoir l'annuler or : x² + 1 ≥ 1

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