Maths2 factorisations   (répertoire)

• contrôle second degré (énoncé)
• P(x) = 3 x² + 6 x − 45
  1) 3 ( x² + 2 x − 15 )
  2) Mise en forme canonique :
  comme : x² + 2 x + 1 = (x + 1)²
  x² + 2 x = (x + 1)² − 1
  P(x) = 3 ( (x + 1)² − 1 − 15 )
  P(x) = 3 ( (x + 1)² − 16 )
  3) Factorisation : a² − b² = (a − b) (a + b)
  P(x) = 3 ( (x + 1)² − 4² )
  P(x) = 3 ( x + 1 − 4 ) ( x + 1 + 4 )
  P(x) = 3 ( x − 3 ) ( x + 5 )
   
• Exercice 3 : factoriser les expressions suivantes
• e(x) = 2 x² + 12 x + 9
  1) e(x) = 2 ( x² + 6 x + 9/2 )
  2) Mise en forme canonique :
  comme : x² + 6 x + 9 = (x + 3)²
  x² + 6 x = (x + 3)² − 9
  e(x) = 2 ( (x + 3)² − 9 + 9/2 )
  e(x) = 2 ( (x + 3)² − 9/2 )
  3) Factorisation : a² − b² = (a − b) (a + b)
  e(x) = 2 ( (x + 3)² − (3/√2)² )
  e(x) = 2 ( x + 3 − 3/√2 ) ( x + 3 + 3/√2 )
   
• h(x) = −2 x² + 12 x − 18
  1) h(x) = −2 ( x² − 6 x + 9 )
  2) Mise en forme canonique :
  comme : x² − 6 x + 9 = (x − 3)²
  h(x) = −2 (x − 3)²
  Si le développement du carré est exactement le polynôme de départ
    il est inutile d'appliquer la méthode générale : on arrête ici
   
• j(x) = 24 x² + 24 x + 6
  1) j(x) = 24 ( x² + x + 6/24 )
  j(x) = 24 ( x² + x + 1/4 )
  2) Mise en forme canonique :
  comme : x² + x + 1/4 = (x + 1/2)²
  j(x) = 24 (x + 1/2)²
   
• k(x) = −12 x + 36 x − 27
  1) k(x) = −12 ( x − 3 x + 27/12 )
  k(x) = −12 ( x − 3 x + 9/4 )
  2) Mise en forme canonique :
  comme : x − 3 x + 9/4 = (x − 3/2)²
  k(x) = −12 (x − 3/2)²
   
• Méthode générale de factorisation en 3 étapes :
  • 1) On factorise le coefficient de x² :
    3 x² + 6 x − 45 = 3 ( x² + 2 x − 15 )
    Pour le 3, il est factorisé : c'est bon.
  • 2) À partir des 2 premières identités remarquables,
    on prend les 2 premiers termes comme le début du développement d'un carré
    (x + b)² = x² + 2 b x + b²
    x² + 2 x + 1 = (x + 1)²
    on remplace x² + 2 x par sa forme canonique : x² + 2 x = (x + 1)² − 1
  • 3) À partir de la troisième identité remarquable, on factorise le polynôme
    (x + α)² − β² = (x + α − β) (x + α + β)
• Détail d'une factorisation :

  P(x) = 3 x2 + 6 x − 45

  1) on met le coefficient de x2 en facteur de toute l'expression

  3 ( x2 + 2 x − 15 )

  2) les termes x2 et x sont le début du développement d'un carré (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2

  x2 + 2 x + 1 = (x + 1)2

  on exprime les 2 premiers termes avec le carré (forme canonique)

  x2 + 2 x = (x + 1)2 − 1

  on les remet dans l'expression sans le facteur multiplicatif global

  (x + 1)2 − 1 − 15

  (x + 1)2 − 16

  (x + 1)2 − 42

  3) on applique l'identité : a2 − b2 = (a − b) (a + b)

  (x + 1 − 4) (x + 1 + 4) = (x − 3) (x + 5)

  On remet le facteur global a=3

  3 x2 + 6 x − 45 = 3 (x − 3) (x + 5)

• Détail de la factorisation littérale :

  P(x) = a x2 + b x + c

  1) on met le coefficient de x2 en facteur de toute l'expression

  a [ x2 + (b/a) x + (c/a) ]

  2) Forme canonique : les termes x2 et x sont le début du développement d'un carré (x + B)2 = x2 + 2 x B + B2 x2 + 2 x B = (x + B)2 − B2

  x2 + 2(b/(2a)) x + (b/(2a))2 = (x + b/(2a))2

  on exprime les 2 premiers termes avec le carré

  x2 + (b/a) x = (x + b/(2a))2 − (b/(2a))2

  on les remet dans l'expression sans le facteur multiplicatif global

  (x + b/(2a))2 − (b/(2a))2 + (c/a)

  On met les 2 derniers termes au même dénominateur

  (x + b/(2a))2 − b2/(4a2) + 4ac/(4a2)

  (x + b/(2a))2 − (√b2−4ac)2/(4a2)

  Pour alléger l'écriture, on pose Δ = b2−4ac

  (x + b/(2a))2 − (√Δ)2/(4a2)

  3) Factorisation : on applique l'identité : A2 − B2 = (A − B) (A + B)

  [ (x + b/(2a) − √Δ/(2a) ] [ (x + b/(2a) + √Δ/(2a) ]

  On remet le facteur global a

  a x2 + b x + c = a (x − x1) (x − x2) avec x1 = ( −b + √Δ) / (2a) et     x2 = ( −b − √Δ) / (2a)

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