Math 1ereS second degré   (répertoire)

• contrôle second degré (énoncé)
• Youtube : maths & tiques 1ère
  factoriser une expression
  forme canonique
  factoriser un trinôme
• Ensembles de nombres :
  • ℕ : ensemble des entiers naturels (positifs) : 0, 1, 2, . . .
  • ℤ : ensemble des entiers relatifs : . . . −2, −1, 0, 1, 2, . . .
  • ℚ : ensemble des rationels (fraction de 2 entiers avec un signe)
  • D : ensemble des décimaux
  • ℝ : ensemble des réels : contient tous les ensembles précédents + irrationnels (π, √2, . . .)
  • ℂ : ensemble des complexes (Terminale)
    l'équation x² + 1 = 0 n'a pas de solution dans ℝ, mais a les solutions { i, −i } dans ℂ
• f(x) = a x² + b x + c = a [ x² + b/a x + c/a ]
  f(x) = a [ (x − α)² − β² ]
  α = −b/(2a) = moyenne des racines
  β² = Δ/(4a²)   avec Δ = b² − 4 a c
  minimum de f(x) : x = −b/(2a) ; y = −Δ/(4a) (sommet de la parabole)
  si Δ > 0 : la parabole va couper l'axe Ox (y=0) et il y aura 2 racines
  si Δ < 0 : la parabole va toujours rester du même côté de l'axe Ox et il y aura 0 racine
  factorisation : f(x) = a [ x − α − β ] [ x − α + β ] = a [ x − x₁ ] [ x − x₂ ]
  racines : x₁ = α + β et x₂ = α − β
  pour obtenir les racines, on ajoute ± √Δ / (2a) à la moyenne −b/(2a)
  d'où : x₁ = ( −b − √Δ )/(2a)
  d'où : x₂ = ( −b + √Δ )/(2a)
  On re-développe : f(x) = a [ x − α − β ] [ x − α + β ] = a [ x² − (x₁ + x₂) x + x₁ x₂ ]
  somme des racines : x₁ + x₂ = −b/a   (2 fois la moyenne −b/(2a))
  produit des racines : x₁ x₂ = c/a
  Un prof de math qui veut donner une équation à résoudre choisit 2 racines : 5 et 7
  • f(x) = x² − 12 x + 35 puis on multiplie par 3 :
    résoudre : 3 x² − 36 x + 105 = 0
  • Autre problème : calculez les côtés d'un rectangle de périmètre 24 m et de surface 35 m²
• image0 :
  y = 0 : racines −3 et 2 : solutions de (x + 3) (x − 2) = x² + x − 6 = 0
  polynôme y(0)=−3 donc polynôme : P(x) = x²/2 + x/2 − 3
  a > 0 : la parabole est orientée vers les y positifs (le haut)
  en effet, pour x → ∞ le terme a x² domine les autres : il est du signe de a
  moyenne des racines = −1/2 (courbe symétrique par rapport à la droite y=−1/2)
  tableau de signe (selon les valeurs de x) : calculer les 2 racines

  x	−∞		−3		2		+∞
  signe(P(x))	+		0	−	0	+
  P(x) ≥ 0	VRAI		V	FAUX	V	VRAI
  P(x) < 0	FAUX		F	VRAI	F	FAUX

  Ensemble des solutions à P(x) ≥ 0 : (x ∈ S) avec S = ]−∞ , −3] ∪ [2, +∞[
    comme l'inégalité est large , les racines sont incluses dans l'intervalle.
  Ensemble des solutions à P(x) < 0 : (x ∈ S) avec S = ]−3, 2[
    comme l'inégalité est stricte , les racines sont exclues de l'intervalle.
  Les 2 dernières lignes du tableau sont une table de vérité : VRAI ou FAUX
   
  tableau de variation :
  calculer le minimum P(−1/2) = 1/8 − 1/4 − 3 = (1 − 2 − 24) / 8 = −25/8
    pour le mettre dans le tableau de variation

  x	−∞		−1/2		+∞
  variation(P(x))		décroissante ↘	min −25/8	croissante ↗	+∞

  
  Exemple : f(x) = x² + 3 x + 5
  a = 1 > 0 : la parabole est orientée vers les y positifs (le haut)
  Δ = b² − 4 a c = 3² − 4 × 1 × 5 = 9 − 20= −11 < 0 : pas de racines réelles
  minimum pour x = −b/(2a) = −3/(2× 1) = −3/2 auquel correspond y = f(−3/2) = −Δ/4a = 11/4   (= 2,75)
  On peut le vérifier avec la forme canonique :
  f(x) = x² + 2 (3/2) x + 5
  f(x) = (x + 3/2)² − 9/4 + 5
  f(x) = (x + 3/2)² − 9/4 + 20/4
  f(x) = (x + 3/2)² + 11/4
  f(x) est minimum pour (x + 3/2) = 0 et vaut alors 11/4
  f(x) ≥ 11/4 > 0
• image4 :
  f(x) = −x² + 4
  2 racines évidentes : +2 et −2
  on aurait pu appliquer la 3ème identité remarquable : 4 − x² = (2 − x) (2 + x)
• signe de f(x) = a x² + b x + c :
  f(x) est du signe de "a" à l'extérieur des racines et quand il n'y a pas de racine
  en effet près des infinis : le terme a x² l'emporte sur les autres
  f(x) = x² ( a + b/x + c/x² )   →   x² ( a + 0 + 0 ) = a x²
  les termes divisés par x tendent vers 0 ≪ a
  près des infinis : f(x) est du signe de a x² qui est du signe de a
  f(x) change de signe quand x franchit les racines
  tableau de signe (selon les valeurs de x) : calculer les 2 racines
  f(x) = a [ x − x₁ ] [ x − x₂ ]

  x	−∞		x1		x2		+∞
  signe(a)	signe(a)			signe(a)		signe(a)
  signe(x−x1)	−		0	+	+	+
  signe(x−x2)	−		−	−	0	+
  signe(f(x))	signe(a)		0	signe(−a)	0	signe(a)

• image5 : ok

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