EXERCICE : Résoudre une équation avec valeurs absolues (Difficile) - Première
niveau-premiere : dérivées
rappels :
Calcul de la dérivée d'une fonction f(x) au point x=a : f '(a) = limite ( f(a+h) − f(a) ) / h quand h → 0
la dérivée est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a
équation de la tangente : y = f(a) + (x − a) f '(a)
1) f(x) = x2 − 3 :
1.1) calculer la dérivée au point x=a
f '(a) = limite de [ (a+h)2 − 3 − (a2 − 3) ] / h quand h → 0
f '(a) = limite de [ a2 + 2 h a + h2 − 3 − a2 + 3 ] / h quand h → 0
f '(a) = limite de [ 2 h a + h2 ] / h quand h → 0
f '(a) = limite de 2 a + h quand h → 0
f '(a) = 2 a
1.2) trouver l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2
x=2 ⇒ f(2)=1 ; f '(2) = 4
équation de la tangente : y = f(2) + (x − 2) f '(2)
équation de la tangente : y = 1 + 4 (x − 2)
équation de la tangente : y = 4 x − 7
2) f(x) = 4x/(x+2) :
2.1) calculer la dérivée au point x=0
f '(0) = limite de [ f(h) − f(0) ] / h quand h → 0
f '(0) = limite de [ 4h/(h+2)] / h quand h → 0
f '(0) = limite de 4/(h+2) quand h → 0
f '(0) = 2
2.2) trouver l'équation de la tangente à la courbe au point x=0
y = f(0) + (x − 0) f '(0)
y = 2 x
3) f(x) = √x
3.1) calculer la dérivée au point x=0
f '(0) = limite de [ f(h) − f(0) ] / h quand h → 0
f '(0) = limite de √h / h quand h → 0
f '(0) = limite de 1 / √x quand h → 0
f '(0) est infinie : √x n'a pas de dérivée définie en x=0
La tangente est verticale : x=0
calcul de la dérivée en un point quelconque a > 0 :
f '(a) = limite de ( √a + h − √a ) / h quand h → 0
on multiplie par l'expresson conjuguée : √a + h + √a (qui ne tend pas vers 0)
f '(a) = limite de ( a + h − a ) / [ h ( √a + h + √a ) ] quand h → 0
f '(a) = limite de 1 / ( √a + h + √a ) quand h → 0
f '(a) = 1 / ( 2 √a )
- résoudre dans R l’équation |x + 2| + |x – 5| = 11
changement de signe de (x + 2) pour x = –2
changement de signe de (x – 5) pour x = 5
Remarque : dernière ligne, on vérifie que les racines appartiennent bien à l'intervalle dans lequel elles sont validesx –∞ –2 5 ∞ signe(x + 2) – 0 + signe(x – 5) – 0 + |x + 2| –x –2 0 x + 2 |x – 5| 5 – x 0 x – 5 équation –x –2 + 5 – x = 11 x + 2 + 5 – x = 11 x + 2 + x – 5 = 11 équation –2x = 8 7 = 11 2x = 14 racines x = –4 ∅ x = 7 solutions acceptable ∅ acceptable
exemple : on vérifie que –4 ∈ ] –∞ ; –2 [ : vrai ; sinon, il faudrait rejeter cette racine.
Ensemble des solutions = { –4 ; 7 }
- résoudre dans R le système d'inéquations suivant :
|x – 3| > 2 ET |x + 4| ≤ 3
changement de signe de (x – 3) pour x = 3
changement de signe de (x + 4) pour x = –4
Solutions : x ∈ [ –7 ; –1 ]x –∞ –4 3 ∞ signe(x – 3) – 0 + signe(x + 4) – 0 + |x – 3| 3 – x 0 x – 3 |x + 4| –x – 4 0 x + 4 système 3 – x > 2 ET –x – 4 ≤ 3 3 – x > 2 ET x + 4 ≤ 3 x – 3 > 2 ET x + 4 ≤ 3 système 1 > x ET –7 ≤ x 1 > x ET x ≤ –1 x > 5 ET x ≤ –1 racines –7 ≤ x < 1 x ≤ –1 < 1 ∅ solutions –7 ≤ x < –4 –4 ≤ x ≤ –1 ∅
https://www.lelivrescolaire.fr/outils/console-python Pour tester ses réponses.
Rappel des principales commandes
| Typage | : type () |
| Affectation | : = |
| Saisie | : input () |
| Sortie | : print () |
| Commentaires | : # Ceci est un commentaire |
doit-on déclarer le type d'une variable ? NON, ce n'est pas prévu
quels sont les 2 types de nombres dans python ? entiers et réels
quel est le type d'un texte ? liste ou tableau de caractères
quels sont les 3 types contenant plusieurs variables : sont-ils modifiable, non modifiable, ordonné, non ordonné ?
exemples : [ 1, 2, 3 ] ; (1, 2, 3) ; {1, 2, 3}
list (modifiable, ordonné) ; tuple (non modifiable, ordonné) ; set (modifiable, non modifiable)
exercice : a = 1 ; b = "2" ; c = "bonjour" ; d = 0.1 ; e = [ 1, 2, 3 ]
donner les résultats de :
a+b ? b+c ? a+d ? b+e ? [b] + e ?
a+b ? unsupported operand type(s) for +: 'int' and 'str'
b+c ? '2bonjour'
a+d ? 1.1
b+e ? can only concatenate str (not "list") to str
[b] + e ? ['2', 1, 2, 3]
Comment connaître le type de la variable x ? type(x)
Comment saisir la variable réelle x ? x = float(input("valeur de x ? "))