Dérivées 1ère S   ([répertoire])
ce qu'il faut savoir :

• Python 3 sur téléphone Android : Pydroid 3 - IDE for Python 3
  un écran programme ; un écran résultat
• Quand on ne connaît pas la dérivée de f(x)
  il faut se ramener à des dérivées que l'on connaît.
  dérivées à connaître par coeur :
  (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹   soit : (x²)' = 2 x ; (x⁵)' = 5 x⁴ ; (1/x)' = −1/x² ; (√x)' = 1 / (2√x)
  (u + v + w)' = u' + v' + w'
  (u v w)' = u' v w + u v' w + u v w'
  (u/v)' = (u' v − u v') / v²
  (f(u))' = f '(u) u'   soit : (uⁿ)' = n uⁿ⁻¹ u' ; (u²)' = 2 u u' ;
  (u⁵)' = 5 u⁴ u' ; (1/u)' = −u'/u² ; (√u)' = u' / (2√u)
  derivées de base
  test sur les derivées
  cours vidéo :
  https://www.youtube.com/watch?v=6C1O0BtNG30 EXERCICE : Dériver une fonction (Niv.1) - Première
  https://www.youtube.com/watch?v=g7UXoUcRMhE EXERCICE : Dériver une fonction (Niv.2) - Première
• Les résultats des dérivées ont été vérifiés avec le logiciel de calcul formel SageMath
  (ce qui m'a permis de corriger 1 erreur dans mes calculs)
• exercice 1 :
  • la dérivée d'une somme = la somme des dérivées : (u + v + w)' = u' + v' + w'
    exemple : f(x) = u(x) + v(x) − w(x)   ⇒   f '(x) = u'(x) + v'(x) − w'(x)
  • les dérivées à connaître par coeur : (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ ∀ n   (même réel)
    exemples (x²)' = 2 x ; (x⁵)' = 5 x⁴ ; (x⁻¹)' = −1×x⁻² ; (x^1/2)' = (1/2) x^−1/2
    sachant que x⁻¹ = 1/x, on obtient : (1/x)' = −1/x²
    sachant que x^1/2 = √x, on obtient : (√x)' = 1 / (2√x)
  • remarque : il y a du texte illisible dans l'exercice : parenthèse mal fermée dans le codage
    il semble que \f(u;v signifie : u/v
    ce qui donnerait : 2) h(t) = t²/2 + 1/3
  • 1) On ne connaît pas la dérivée de f(x) = −2 x³ + x − 2
    il faut se ramener à des dérivées que l'on connaît : f(x) = u + v + w
    f '(x) = u' + v' + w'
    f '(x) = −2 (3x²) + 1 − 0
    f '(x) = −6 x² + 1
  • g'(x) = 2(2x) − 3(1) + 0 = 4 x − 3
  • h'(t) = (1/2)(2t) + 0 = t
  • y'(x) = (1/3)(3x²) − (1/2)(2x) + (1/5)(1) + 0
    y'(x) = x² − x + 1/5
  • u'(x) = 4(1/(2√x) − 1/x² − 0
    u'(x) = 2/√x − 1/x²   définie sur ] 0 ; ∞ [
• exercice 2 :
  • la dérivée d'un produit : (u v)' = u' v + u v'
    on dérive un seul terme du produit à la fois : (u v w)' = u' v w + u v' w + u v w'
  • 1) On ne connaît pas la dérivée de f(x) = (x²+1) (−2x³ + 3x − 7)
    il faut se ramener à des dérivées que l'on connaît : f(x) = u v
    f(x) est de la forme produit : u(x).v(x)
    u(x) = x²+1   et   v(x) = −2x³ + 3x − 7
    u'(x) = 2 x   et   v'(x) = −6 x² + 3
    f '(x) = u' v + u v' = 2 x (−2x³ + 3x − 7) + (x²+1) (−6 x² + 3)
    f '(x) = −4x⁴ + 6x² − 14x − 6 x⁴ + 3 x² − 6 x² + 3
    f '(x) = −10 x⁴ + 3 x² − 14 x + 3
  • 2) développement de f(x) :
    f(x) = −2x⁵ + 3x³ − 7x² − 2x³ + 3x − 7
    f(x) = −2x⁵ + x³ − 7x² + 3x − 7
    f '(x) = −10 x⁴ + 3 x² − 14 x + 3
• exercice 3, 4 : dérivée d'une fonction composée : (f(u))' = f '(u) u'
  • exemples : (uⁿ)' = n uⁿ⁻¹ u' soit avec n=2 : (u²)' = 2 u u'
    On ne connaît pas la dérivée de f(x) = (2 x² − x + 4)²
    il faut se ramener à des dérivées que l'on connaît : f(x) = u²
  • 1) On peut développer le produit puis dériver :
    f(x) = (2 x² − x + 4) (2 x² − x + 4)
    f(x) = 2 x²(2 x² − x + 4) − x(2 x² − x + 4) + 4(2 x² − x + 4)
    f(x) = 4 x⁴ − 2x³ + 8x² − (2 x³ − x² + 4x) + 8 x² − 4x + 16
    f(x) = 4 x⁴ − 2x³ + 8x² − 2 x³ + x² − 4x + 8 x² − 4x + 16
    f(x) = 4 x⁴ − 4 x³ + 17 x² − 8 x + 16
    f '(x) = 16 x³ − 12 x² + 34 x − 8
  • 2) On peut appliquer : (u²)' = 2 u u'   (ce qui est plus simple et plus rapide)
    f '(x) = 2 u u' = 2 (2 x² − x + 4) (4 x − 1)
    La forme factorisée permet d'étudier le signe de f '(x)
    développement pour comparer au 1) :
    f '(x) = 8 x (2 x² − x + 4) − 2 (2 x² − x + 4)
    f '(x) = 16 x³ − 8 x² + 32 x − 4 x² + 2 x − 8
    f '(x) = 16 x³ − 12 x² + 34 x − 8
  • la seconde méthode est plus rapide, comporte moins de risque d'erreur
    et surtout permet de garder la factorisation
• exercice 5 : dérivée d'un quotient : (u/v)' = (u' v − u v') / v²
  • on peut le retrouver avec les dérivées du produit et de l'inverse :
    (u/v)' = [u.(1/v)]' = u' (1/v) + u (1/v)' = u'/v + u (−v'/v²) = (u' v − u v') / v²
  • 1) f(x) = 1 / (3x+6) = 1 / u
    f '(x) = −u' / u² = −3 / (3x+6)²
    f '(x) = −1/ (3 (x+2)²)
  • 2) g(x) = (2x+1) / (3x−6) = u / v
    g'(x) = (u' v − u v') / v² = [ 2 (3x−6) − (2x+1) (3) ] / (3x−6)²
    g'(x) = [ 6x − 12 − 6x − 3 ] / (3x−6)²
    g'(x) = −15 / (3x−6)²
    g'(x) = −15 / ( 9 (x−2)² )
    g'(x) = −5 / ( 3 (x−2)² )
    remarque : on pouvait factoriser (1/3) dans g(x) = (2x+1) / (3x−6) = (1/3) (2x+1)/(x−2)
  • 3) h(x) = 1/(−3x²+12) + 1/3 = 1/u + 1/3
    h'(x) = −u' / u² = −(−6x+0) / (−3x²+12)²
    h'(x) = 6 x / ( 9 (−x²+4)² )
    h'(x) = 2 x / ( 3 (−x²+4)² )
    remarque : on pouvait factoriser (1/3) dans h(x) = (1/3) (1/(−x²+4)) + 1/3
  • 4) i(x) = 1/(2(x²+1)) = (1/2) (1/u)
    i'(x) = (1/2) (−u' / u²) = (1/2) (−2x / (x²+1)²)
    i'(x) = −x / (x²+1)²
  • 5) j(x) = (x² −3x + 1) / (2x²+1) = u/v
    j'(x) = (u' v − u v') / v² = [ (2x−3) (2x²+1) − (x² −3x + 1) (4x) ] / (2x²+1)²
    j'(x) = [ 4x³+2x − 6x² − 3 − (4x³ −12x² + 4x) ] / (2x²+1)²
    j'(x) = [ 4x³+2x − 6x² − 3 − 4x³ + 12x² − 4x ] / (2x²+1)²
    j'(x) = ( 6 x² − 2x − 3 ) / (2x²+1)²
  • 6) k(x) = √x / (−x² − 1) = u/v
    k'(x) = (u' v − u v') / v² = [ (1/(2√x) (−x² − 1) − √x (−2x) ] / (−x² − 1)²
    k'(x) = [ −x²/(2√x) − 1/(2√x) + 2 x √x ] / (x² + 1)²
    comme x ∈ ] 0 ; ∞ [ on peut multiplier par (2√x) les numérateur et dénominateur :
    k'(x) = [ −x² − 1 + 2 x √x (2√x) ] / [ (x² + 1)² (2√x) ]
    k'(x) = [ −x² − 1 + 4 x² ] / [ (x² + 1)² (2√x) ]
    k'(x) = ( 3 x² − 1 ) / ( 2 √x (x² + 1)² )
• 7 : dérivées : (k/u)' = −ku'/u²   ;   (u/k)' = u'/k
• exercice 8 : équation d'une tangente : y = f(a) + (x − a) f '(a)
  • 1) f(x) = x² + 1/x
    f '(x) = 2 x − 1/x²
  • 2) tangente en a=2 : équation de la tangente : y = f(a) + (x − a) f '(a)
    a = 2   ;   f(2) = 4 + 1/2 = 9/2   ;   f '(2) = 4 - 1/4 = 15/4
    y = 9/2 + (x − 2) 15/4 = (15/4) x + 9/2 − 30/4
    y = (15/4) x + 18/4 − 30/4
    y = (15/4) x − 12/4
    y = (15/4) x − 3
  • la droite y = x + 1 est-elle tangente à la courbe ?
    équation de la tangente développée : y = x f '(a) + f(a) − a f '(a)
    vrai si : f '(a) = 1 et f(a) − a f '(a) = 1
    résolution de f '(a) = 1 = 2 a − 1/a²
    cas a = 0 : impossible car domaine de f = ℝ\{0}
    cas a ≠ 0 : a² = 2 a³ − 1
    2 a³ − a² − 1 = 0
    équation de degré > 2 : on recherche une racine évidente dans {−2, −1, 0, 1, 2}
    a = 1 satisfait l'équation : on factorise (a−1) pour trouver les autres racines
    2 a³ − a² − 1 = (a−1) (2 a² + a + 1) = 0
    Δ = b² − 4 a c = 1 − 8 = −7 < 0 : pas d'autre racine
    Calcul de la tangente en a=1 :
    f(1) = 2   ;   f '(1) = 1
    y = f(a) + (x − a) f '(a) = 2 + (x − 1) (1) = x + 1
    y = x + 1 est bien tangente au point (1, 2) de la courbe C(f)

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