Dérivées 1ère S   ([répertoire])

• Python 3 sur téléphone Android : Pydroid 3 - IDE for Python 3
  un écran programme ; un écran résultat
• Quand on ne connaît pas la dérivée de f(x)
  il faut se ramener à des dérivées que l'on connaît.
  dérivées à connaître par coeur :
  (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹   soit : (x²)' = 2 x ; (x⁵)' = 5 x⁴ ; (1/x)' = −1/x² ; (√x)' = 1 / (2√x)
  (u + v + w)' = u' + v' + w'
  (u v w)' = u' v w + u v' w + u v w'
  (u/v)' = (u' v − u v') / v²
  (f(u))' = f '(u) u'   soit : (uⁿ)' = n uⁿ⁻¹ u' ; (u²)' = 2 u u' ;
  (u⁵)' = 5 u⁴ u' ; (1/u)' = −u'/u² ; (√u)' = u' / (2√u)
  tangente : y = f '(a) (x − a) + f(a)
  derivées de base
  test sur les derivées
  cours vidéo :
  https://www.youtube.com/watch?v=6C1O0BtNG30 EXERCICE : Dériver une fonction (Niv.1) - Première
  https://www.youtube.com/watch?v=g7UXoUcRMhE EXERCICE : Dériver une fonction (Niv.2) - Première
• Remarque sur la différence entre f et f(x) :
  on peut parler de la fonction f, dire que f = u / v   ⇒   f ' = (u' v − u v') / v²
  par contre quand on l'explicite, il faut choisir une variable nuette : f(x) = 1/x ou f(t) = 1/t
  de même pour u et v : u(x) = x + 1
  équation d'une droite : y = a x + b   (y et x sont des variables)
  équation d'une courbe C_f : y = f(x)   (où f(x) = x²)
• exercice 3 :
  • dérivée et ensemble de dérivation de : f(x) = (x² + 2) √x
    u(x) = (x² + 2)   ⇒   u'(x) = 2 x
    v(x) = √x   ⇒   v'(x) = 1/(2√x)
    f = u v   ⇒   f ' = u' v + u v'
    f '(x) = 2 x √x + (x² + 2)/(2√x)
    f '(x) = [ 4 x x + (x² + 2) ] /(2√x)
    f '(x) = (5 x² + 2) /(2√x) définie sur ] 0 ; ∞ [   ( 0 exclu ) (vérifé)
  • dérivée et ensemble de dérivation de : g(x) = (x³ + 2x) (√x+1)
    u(x) = (x³ + 2x)   ⇒   u'(x) = 3 x² + 2
    v(x) = (√x+1)   ⇒   v'(x) = 1/(2 √x)
    g = u v   ⇒   g' = u' v + u v'
    g'(x) = (3 x² + 2) (√x + 1) + (x³ + 2x) ( 1 / (2 √x) )
    g'(x) = (3 x² + 2) (√x + 1) + (x³ + 2x) / (2 √x)
    g'(x) = [ 2 (3 x² + 2) (x + √x) + (x³ + 2 x) ] / ( 2 √x )
    g'(x) = [ 2 ( 3 x³ + 3 x² √x + 2 x + 2 √x ) + x³ + 2 x ] / ( 2 √x )
    g'(x) = [ 6 x³ + 6 x² √x + 4 x + 4 √x + x³ + 2 x ] / ( 2 √x )
    g'(x) = ( 7 x³ + 6 x² √x + 6 x + 4 √x ) / ( 2 √x )
    g'(x) = (7/2) x²√x + 3 x² + 3 √x + 2 définie sur [ 0 ; ∞ [   ( 0 inclus ) (vérifié)
  • tangente au point a = 1 de C(f) :
    y = (x − a) f '(a) + f(a)
    a = 1   ⇒   f(1) = 3   ⇒   f '(1) = 7/2
    y = (7/2) (x − 1) + 3 = 7x/2 − 7/2 + 6/2
    y = 7x/2 − 1/2 (vérifié)
  • tangente au point a = 1 de C(g) :
    y = (x − a) g '(a) + g(a)
    a = 1   ⇒   g(1) = 6   ⇒   g '(1) = 23/2
    y = 23/2 (x − 1) + 6
    y = 23/2 x − 23/2 + 12/2
    y = (23/2) x − 11/2 (vérifié)
• exercice 5 :
  • f(x) = 1 / (3 x + 6) = (1/3) ( 1 / (x + 2) )
    f = (1/3) (1/u)
  • g(x) = (2x + 1) / (3 x − 6) = (1/3) (2x + 1) / (x − 2)
    g = (1/3) (u/v)
  • h(x) = 1 / (−3 x² + 12) + 1/3 = 1/3 [ 1 / (−x² + 4) + 1 ]
    h = (1/3) [ 1/v + 1 ]
  • i(x) = 1 / [ 2 (x² + 1) ]
    i = (1/2) (1/u)   ⇒   i' = (1/2) (−u'/u²)
    u(x) = x² + 1   ⇒   u'(x) = 2 x
    i'(x) = (1/2) (−2 x/(x² + 1)²)
    i'(x) = −x / (x² + 1)² défini sur ℝ (vérifié)
  • j(x) = (x² − 3x + 1) / (2x² + 1)
    j = u/v   ⇒   j' = (u' v − u v') / v²
    u(x) = x² − 3x + 1   ⇒   u'(x) = 2 x − 3
    v(x) = 2 x² + 1   ⇒   v'(x) = 4 x
    j'(x) = [ (2 x − 3) (2x² + 1) − (x² − 3x + 1) (4 x) ] / (2x² + 1)²
    j'(x) = [ (4 x³ + 2 x) + (− 6 x² − 3) − (4 x³ − 12 x² + 4 x) ] / (2x² + 1)²
    j'(x) = [ 4 x³ + 2 x − 6 x² − 3 − 4 x³ + 12 x² − 4 x) ] / (2x² + 1)²
    j'(x) = ( 6 x² − 2 x − 3 ) / (2x² + 1)² défini sur ℝ (vérifié)
  • k(x) = √x / (−x² − 1)
    k = u/v   ⇒   k' = (u' v − u v') / v²
    u(x) = √x   ⇒   u'(x) = 1 / (2 √x)
    v(x) = −x² − 1   ⇒   v'(x) = −2 x
    k'(x) = ((−x² − 1) / (2 √x) + 2 x √x) / (x² + 1)²
    on multiplie par 2 √x :
    k'(x) = ((−x² − 1) + 4 x²) / ( 2 √x (x² + 1)² )
    k'(x) = (3 x² − 1) / ( 2 √x (x² + 1)² )
    k'(x) = (3 x² − 1) / (2 (x² + 1)² √x) définie sur ] 0 ; ∞ [   ( 0 exclu ) (vérifié)
• exercice 7) Sortir la constante multiplicative de la fonction : elle restera en facteur pendant tout le calcul
  ce qui évitera de faire des erreurs de report et d'oublier de simplifier à la fin
  f = k u   ⇒   f ' = k u'
  donc : f = k/u   ⇒   f ' = −k u'/u²
  • f(x) = 3 / (x²+2)
    f = 3/u   ⇒   f ' = −3 u'/u²
    avec u(x) = x²+2   ⇒   u'(x) = 2 x
    f '(x) = −3 (2x ) / (x²+2)²
    f '(x) = −6 x / (x²+2)²
  • g(x) = 5 / (−3x+12) + (−3x+12) / 5
    g = (5/3) (1/u) + (3/5) u   ⇒   g' = −(5/3) (u'/u²) + (3/5) u'
    avec u(x) = −x + 4   ⇒   u'(x) = −1
    g'(x) = −(5/3) (−1/(−x + 4)²) + (3/5) (−1)
    g'(x) = 5/(3 (−x + 4)²) − 3/5
  • h(x) = 3 / [ 4 (x+1)² ]
    indentité remarquable : (a+b)² = a² + 2ab + b²   (à vérifier en développant)
    h = (3/4) (1/u)   ⇒   h' = (3/4) (−u'/u²)
    avec u(x) = (x+1)²   ⇒   u'(x) = 2 (x+1)   (en appliquant (u²)' = 2 u u')
    h'(x) = (3/4) (−2 (x+1)/(x+1)⁴)
    h'(x) = (3/4) (−2/(x+1)³)
    h'(x) = (−3/2) (1/(x+1)³)
    h'(x) = −3 / (2 (x+1)³)
    plus simplement : h(x) = (3/4) (x+1)⁻² = (3/4) (u(x))⁻²
    u(x) = x+1   ⇒   u'(x) = 1
    h' = (3/4) (−2 u' u⁻³)
    h'(x) = −(3/2) (1/ (x+1)⁻³)
    h'(x) = −3 / (2 (x+1)⁻³)
    Il n'y a pas eu besoin de simplifier par (x+1) !
• exercice 10 : f(x) = 1/√x définie sur ] 0 ; ∞ [
  • calcul de la dérivée : f = 1 / u
    u(x) = √x   ⇒   u'(x) = 1 / (2 √x)
    f ' = −u' / u²
    f '(x) = − (1 / (2 √x)) ( 1 / (√x)² )
    f '(x) = −1 / (2 √x) ( 1/ x )
    f '(x) = −1 / (2 x √x)
  • Autre méthode : f(x) = x^−1/2   ⇒   f '(x) = −(1/2) x^−3/2
    f '(x) = −1/ (2 x √x) (vérifié)
  • tangente en x=4 : f(4) = 1/2 ; f '(4) = −1/16
    y = 1/2 + (−1/16) (x - 4)
    y = 1/2 − x/16 + 1/4
    y = −x/16 + 3/4 (vérifié)
  • tangente horizontale : f '(x) = 0
    −1 / (2 x √x) = 0
    On voit qu'il faudrait diviser 1 par l'infini pour avoir 0
    méthode rigoureuse : comme x ≠ 0 : on multiplie par x √x :
    on obtient : −1 / 2 = 0 qui n'est jamais vérifiée : solutions = ∅
    la courbe C(f) n'a pas de tangente horizontale.

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