Cours du 18/01/2021   ([répertoire])   − × ↗ → ↘ √ ∞ ℝ ℚ ℤ ℕ ∀ ∈ ∃ ≈ ∑ α β Δ

• exercice 1
  la fonction f(x) est donnée sous forme de courbe plutôt que de formule
  lecture graphique de f(0) = 1 ; f(−2) = −1 ; f(1) = 1,5
  ATTENTION aux unités qui ne correspondent pas au quadrillage : en x et y 2 cases pour 1 unité
  f '(0) = −1/2 ; f '(−2) = 0 ; f '(1) = 2
  f '(−2) : Δy = 0 pour Δx = 1 donc f '(−2) = 0 (coefficient directeur de la tangente horizontale)
  Le seul cas impossible est la tangente verticale : Δy = infini   qui se produit quand il y a une asymptote verticale (comme pour 1/x en x=0)
  La rédaction laisse à désirer :
  Δy = 1 Δx = 2 = 1/2 = 0,5
  2 = 1/2 est absurde !
  par ailleurs même Δy = 1 Δx n'est pas correct
  Il faut bien séparer les choses par des points-virgules :
  Δy = 1 ; Δx = 2 ⇒ f '(0) = Δy / Δx = 1/2
  implique ⇒ quand ce qui est à gauche impose (rend nécessaire) ce qui est à droite
  remarque : en math, on préfère les fractions (1/2) plutôt que les nombres décimaux (0,5)
  surtout quand cela ne tombe pas juste comme 1/3 plutôt que 0,3333
   
• exercice 2 :
  f '(2) = lim ( (2+h)³ − 2³ ) / h quand h → 0
  calcul de (2+h)³ :
  (2+h)³ = (2+h) (2+h)² = (2+h) (4+4h+h²) = 8+8h+2h² + 4h+4h²+h³
  (2+h)³ = 8 + 12h + 6h² + h³
  taux d'accroissement : (2+h)³ − 2³ ) / h = 12 + 6h + h²
  f '(2) = lim 12 + 6h + h² quand h → 0
  quand h → 0, on remplace h par 0
  f '(2) = 12 + 6×0 + 0² = 12 + 0 + 0 = 12
  Il faut vérifier par un calcul différent :
  vérification : dérivée de x³ : 3 x² ; pour x=2 : f '(2) = 3×4 = 12
  Remarque sur la présentation :
  calcul de f '(2) à gauche et calcul de (2+h)³ à droite
  à séparer par une ligne verticale !
   
• exercice 3 :
  3.a) f(x) = √3 x² + 2 x + 3
  f '(x) = 2 √3 x + 2
   
  3.b) f(x) = (2 x² + x) √x
  f = u v   avec u(x) = (2 x² + x) et v(x) = √x
  u'(x) = 4 x + 1 ; v'(x) = 1/(2√x)
  f ' = u' v + u v'
  f '(x) = (4 x + 1) √x + (2 x² + x) /(2√x)
  distribution de √x dans (4 x + 1) :
  (4 x + 1) √x = 4 x √x + √x
  division par √x : x = (√x)²
  x / √x = √x
  division : (2 x² + x) /(2√x) = (2 x √x + √x) / 2
  . . . = x √x + √x/2
  finalement :
  f '(x) = 4 x √x + √x + x √x + √x/2
  f '(x) = 5 x √x + 3/2 √x
  factorisation pour l'étude de signe :
  f '(x) = √x ( 5 x + 3/2 )
   
  3.d) f(x) = (x³ − 1) / (3 x² + 1)
  f = u/v
  f ' = (u' v − u v') / v²
  avec u(x) = (x³ − 1) et v(x) = (3 x² + 1)
  u'(x) = 3 x² et v'(x) = 6 x
  f '(x) = [ 3 x² (3 x² + 1) − (x³ − 1) 6 x ] / (3 x² + 1)²
  f '(x) = [ 9 x⁴ + 3 x² − (6 x⁴ − 6 x) ] / (3 x² + 1)²
  f '(x) = [ 9 x⁴ + 3 x² − 6 x⁴ + 6 x ] / (3 x² + 1)²
  f '(x) = [ 3 x⁴ + 3 x² + 6 x ] / (3 x² + 1)²
  f '(x) = 3 x [ x³ + x + 2 ] / (3 x² + 1)²
   
• exercice 4 :
  f(x) = x³ + 5x
  tangente au point x=a : y = f(a) + (x−a) f '(a)
  équation de la droite tangente : de la forme y = α x + β
  avec les 2 constantes : α = f '(a) et β = f(a) − a f '(a)
  f '(x) = 3 x² + 5
  a = −1 donc f(a) = f(−1) = (−1)³ + 5(−1) = −1 −5 = −6
  et f '(a) = 3 (−1)² + 5 = 8
  équation de la tangente en x=−1 : y = −6 + 8 (x+1)
  y = 8 x + 2
  Il y a une tangente différente en chaque point de la courbe.
   
• entraînement dérivation :
• I.f) f(x) = 3 x⁵ − 4 x² + 6
  réponse : f '(x) = 15 x⁴ − 8 x
  dérivable sur ℝ
• I.g) g(x) = (x² + 2x + 1) (3x + 3) = u(x) v(x)
  u(x) = (x² + 2x + 1) ; v(x) = (3x + 3)
  u'(x) = 2 x + 2 ; v'(x) = 3
  g'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
  g'(x) = (2 x + 2) (3x + 3) + 3 (x² + 2x + 1)
  g'(x) = 6 (x+1)² + 3 (x+1)² = 9 (x+1)²
• autre méthode : g(x) = (x² + 2x + 1) (3x + 3)
  on reconnaît (x² + 2x + 1) = (x+1)² et (3x + 3) = 3(x+1)
  g(x) = 3 (x+1)³
  g(x) = 3 u(x)³ avec u(x) = (x+1) et u'(x) = 1
  g'(x) = 3 × 3 u(x)² u'(x)
  réponse : g'(x) = 9 (x+1)²
  dérivable sur ℝ
• I.h) h(x) = (2−5x) / (3x+1) = u(x) / v(x)
  u(x) = 2−5x ; v(x) = 3x+1
  u'(x) = −5 ; v'(x) = 3
  h' = ( u' v − u v' ) / v²
  h'(x) = [ −5 (3x+1) − 3 (2−5x) ] / (3x+1)²
  h'(x) = [ −15 x − 5 − 6 + 15 x ] / (3x+1)²
  réponse : h'(x) = −11 / (3x+1)²
  dérivable sur ℝ\{−1/3}   (prononcer R privé de −1/3)
• I.k) k(x) = √3x−7
  k(x) = √u(x)  
  u(x) = 3x−7 ; u'(x) = 3
  k'(x) = u'(x) / ( 2 √u(x) )
  réponse : k'(x) = 3 / ( 2 √3x−7 )
  dérivable sur ] 7/3 ; ∞ [
    (7/3 est exclu car on divise par √3x−7)

  x →	→ u →	→ k
  	u(x) = 3 x − 7 u'(x) = 3	k(u) = √u pas de x ici
  	k'(x) = 3 / (2 √3 x − 7) ←	← k' = u' / (2 √u)

   
• entraînement dérivation : II) f(x) = x + 1 + 2/(2x−1)
  1) domaine de définition : ℝ\{1/2}
  justification : on ne peut pas diviser par 0 : 2x−1=0 pour x=1/2
  dérivée : rappel (1/u)' = −u'/u² pour u(x) = 2x−1 : u'(x) = 2 et [1/(2x−1)]' = −2/(2x−1)²
  f '(x) = 1 − 4/(2x−1)²
  dérivable sur ℝ\{1/2}
  2) f '(x) = 1 − 4/(2x−1)² = [(2x−1)² − 4] / (2x−1)²
  f '(x) = [4x² − 4x + 1 − 4] / (2x−1)²
  f '(x) = [4x² − 4x − 3] / (2x−1)²
  3) variation de f : signe de f '
  racines de 4x² − 4x − 3 : Δ = b²−4ac = 16+48 = 64 = 8²
  x1 = (−b−√Δ)/(2a) = (4 − 8)/8 = −1/2
  x2 = (−b+√Δ)/(2a) = (4 + 8)/8 = 3/2
  valeurs particulières : 1/2, x1, x2

  x	−∞		−1/2		1/2		3/2		∞
  signe(f ')	+		0	−	||	−	0	+
  variation(f)	−∞	↗	−1/2	↘	−∞||∞	↘	7/2	↗	∞

   
• entraînement dérivation : III)
  • on recherche les cas limites : x=0 : côtés du fond de la boîte 10 cm
    x=5 : côtés du fond de la boîte 0 cm
    x doit appartenir à l'intervalle [0, 5]
  • V(x) = (10 − 2 x)² x = 4 x (5 − x)² cm³
    en développant : V(x) = 4 x (25 − 10 x + x²) = 100 x − 40 x² + 4 x³
  • Variation de V(x) : V'(x) = 100 − 80 x + 12 x² = 4 (25 − 20 x + 3 x²)
    V'(x) = 3 x² − 20 x + 25
    racines de V'(x) :
    Δ = b² − 4 a c = 400 − 4×3×25 = 400 − 300 = 100 = 10²
    x1 = (20 − 10) / 6 = 10/6 = 5/3 ≈ 1,667   (vérification de l'ordre de grandeur sur la figure ok)
    x2 = (20 + 10) / 6 = 30/6 = 5   (vérification de l'ordre de grandeur sur la figure ok)
    signe de V'(x) : positif à l'extérieur des racines

    x	0		5/3		5
    signe(f ')	+		0	−
    variation(f)	0	↗	2000/27	↘	0

    le point (5/3, 2000/27) est bien un maximum.
    V(5/3) ≈ 74,074   (vérification de l'ordre de grandeur sur la figure ok)
• Commentaires :
  il est utile de connaître le développement de (a+b)³ :
  (a+b)³ = a³ + 3 a²b + 3ab² + b³
  au-delà : c'est plus compliqué à retenir
  (a+b)ⁿ = aⁿ + n aⁿ⁻¹b + n(n−1)/2 aⁿ⁻²b² + n(n−1)(n−2)/(2×3) aⁿ⁻³b³ + . . .
  (a+b)ⁿ = ∑_k (k parmi n) aⁿ⁻¹b^k   pour k = 0 à n
   
  la fonction V(x) = 4 x (5 − x)² possède une racine simple (x=0) et une racine double (x=5)
  elle traverse l'axe y=0 pour la racine simple 0
  elle touche l'axe y=0 puis repart du même côté pour la racine double
   
  la fonction f(x) = x³ a une racine triple (x=0) :
  elle traverse l'axe y=0 pour la racine triple
  sa dérivée : 3 x² a une racine double et s'annule en x=0 sans changer de signe.

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