cours du 02/03/2021   (répertoire)

• Règle d'arrondi : on arrondi au nombre le plus proche
  c'est le meilleur arrondi !
  par exemple : −8,957952 est-il plus proche de : −8,95 ou de −8,96 ?
  1,234 → 1,23   arrondi par défaut
  1,235 → 1,24   arrondi par excès
  de 1,225.... à 1,2349999999.... = [ 1,225 ; 1,235 [ → 1,23
  cas particulier 1,225 exactement pourrait être arrondi aussi bien à 1,22 qu'à 1,23
  Mais, par convention, on arrondi à la valeur supérieure : 1,23
  (au cas où il y aurait une décimale éloignée non nulle)
   
• Calcul de raison, méthode générale :
  • déterminer une suite arithmétique dont on connaît 2 termes :
    On expérimente d'abord sur des petits nombres :
    si l'on connaît 2 termes successifs : u₅ et u₆   (indices 6−5=1)
    on en déduit directement : r = u₆ − u₅
    si l'on connaît 2 termes pas très éloignés : u₅ et u₇   (indices 7−5=2)
    on en déduit directement : 2 r = u₇ − u₅
    cas général :
    u₅ = 10
    u₁₅ = 30
    on peut se ramener à la formule explicite :
    u₅ = u₀ + 5 r = 10
    u₁₅ = u₀ + 15 r = 30
    2 équations à 2 inconnues : u₀ et r
    par soustraction : u₁₅ − u₅ = 15 r − 5 r = 10 r = 30 − 10 = 20
    d'où : r = 20/10 = 2
    Plus généralement : si on connaît \( \bf{u_n} \) et \( \bf{u_p} \) :
    \( \bf{ u_n - u_p = (n-p) r } \)
    d'où : \( \bf{\displaystyle r = \frac{u_n - u_p}{n-p} } \)
     
  • déterminer une suite géométrique dont on connaît 2 termes :
    On expérimente d'abord sur des petits nombres :
    si l'on connaît 2 termes successifs : u₅ et u₆   (indices 6−5=1)
    on en déduit directement : \( {\displaystyle q = \frac{u_6}{u_5} } \)
    si l'on connaît 2 termes pas très éloignés : u₅ et u₇   (indices 7−5=2)
    on en déduit directement : \( {\displaystyle q^2 = \frac{u_7}{u_5} } \)
    cas général :
    u₅ = 10
    u₁₅ = 30
    on peut se ramener à la formule explicite :
    u₅ = u₀ q⁵ = 10
    u₁₅ = u₀ q¹⁵ = 30
    2 équations à 2 inconnues : u₀ et r
    par division : \( {\displaystyle \frac{u_{15}}{u_5} = \frac{q^{15}}{q^5} = q^{10} = \frac{30}{10} = 3 } \)
    \( {\displaystyle q = 3^{\frac{1}{10}} ≈ 1.1161231740339044 } \)
    Plus généralement : si on connaît \( \bf{u_n} \) et \( \bf{u_p} \) :
    \( \bf{ \displaystyle \frac{u_n}{u_p} = q^{n-p} } \)
    d'où : \( \bf{ \displaystyle q = \left( \frac{u_n}{u_p} \right)^{ \frac{1}{n-p} } } \)
     
• I) formulation explicite : u_n = 3 n − 7   OK
  u₀ = −7
  u₁ = 3 × 1 − 7 = −4
  on ajoute 3 à chaque fois : −1, 2, 5, 8, 11, 14
• II) formulation par récurrence : u₀ = 7 ; u_n+1 = −3 u_n + 2   OK
  (suite arithmético-géométrique)
  u₁ = −3 × 7 + 2 = −19
  u₂ = −3 × (−19) + 2 = 59
  u₃ = −3 × 59 + 2 = −175
  u₄ = −3 × (−175) + 2 = 527
  u₅ = −3 × 527 + 2 = −1579
  u₆ = −3 × (−1579) + 2 = 4739
• III.1) suite arithmétique : u₁ = 2 r=3
  formulation par récurrence : u_n+1 = u_n + 3
  u₂ = u₁ + 3 = 5
  formule explicite : u_n = u₁ + (n−1) r = 2 + 3 (n−1) = 3 n − 1
  u₉ = 3 × 9 − 1 = 26
  u₁₅ = 3 × 15 − 1 = 44
• III.2) suite arithmétique : u₁ = 12 r=−1.4
  formulation par récurrence : u_n+1 = u_n − 1.4
  formule explicite : u_n = u₁ + (n−1) r = 12 + − 1.4 (n−1) = − 1.4 n + 13.4
  u₂ = − 1.4 × 2 + 13.4 = 10.6
  u₁₅ = − 1.4 × 15 + 13.4 = -7.6
  u₁₈ = − 1.4 × 18 + 13.4 = -11.8
• IV) suite arihtmétique u_n : u₁ = 3 raison r
  u₁₇ = 27
  formule explicite : u_n = u₁ + (n−1) r
  27 = u₁ + (17−1) r = 3 + 16 r
  24 = 16 r
  r = 24/16 = 3/2 = 1,5
  Conclusion : r = 1,5
• V.1) suite géométrique u₁ = −2.5 ; q=1.2
  formule par récurrence : u_n+1 = 1.2 u_n
  u₂ = q u₁ = 1.2 × (−2.5) = −3
  formule explicite : u_n = u₁ qⁿ⁻¹ = −2.5 × 1.2ⁿ⁻¹
  u₂ = −2.5 × 1.2²⁻¹ = −2.5 × 1.2 = −3   (vérification)
  u₈ = −2.5 × 1.2⁸⁻¹ = −2.5 × 1.2⁷ = −8.957952 ≈ −8.96
  u₁₅ = −2.5 × 1.2¹⁵⁻¹ = −2.5 × 1.2¹⁴ ≈ −32.097961613721594 ≈ −32.10
• V.2) suite géométrique u₁ = 1200 ; q=0.8
  formule par récurrence : u_n+1 = 0.8 u_n
  u₂ = q u₁ = 0.8 × 1200 = 960
  formule explicite : u_n = u₁ qⁿ⁻¹ = 1200 × 0.8ⁿ⁻¹
  u₁₇ = 1200 × 0.8¹⁷⁻¹ = 1200 × 0.8¹⁶ ≈ 33.776997205278775 ≈ 33.78
  u₂₁ = 1200 × 0.8²¹⁻¹ = 1200 × 0.8²⁰ ≈ 13.835058055282195 ≈ 13.84

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