cours du 16/03/2021   (répertoire)

• grammaire : Nous pouvons nous voir   OU   On peut se voir mardi
  Je me lave = je lave moi
   
• Soit une suite arithmétique : calculer u₀ et r ?
  On connaît u₅ = 10 et u₁₇ = 28
  formule du cours : u_n = u₀ + n r
  ici : u₅ = u₀ + 5 r
  ici : u₁₇ = u₀ + 17 r
  par différence : u₁₇ − u₅ = (17 − 5) r = 12 r
  u₁₇ − u₅ = 28 − 10 = 18
  d'où : r = 18/12 = 3/2
  et u₀ = u₅ − 5 r = 10 − 15/2 = 5/2
  réponse : u₀=5/2 et r=3/2
   
• Suite associée à une année :
  u₁ correspond à l'année 2004
  u₁₊₁ correspond à l'année 2004+1 : u₂ correspond à l'année 2005
  u_n correspond à l'année 2018 : n−1 = 2018−2004 = 14 d'où n=15
   
• Arrondis au centième : 1,23499 on doit choisir entre 1,23 et 1,24 : Lequel est le plus proche de 1,23499 ?

  si le premier chiffre à supprimer est < 4 : on arrondit par défaut	: 1,23499 ≈ 1,23
  si le premier chiffre à supprimer est ≥ 5 : on arrondit par excès	: 1,23501 ≈ 1,24

   
• suites : 02597 exercice 3 page 5
  u₀ = 1200 progression géométrique de 2% : q = 1,02
  rappel : 2% = 2/100 = 0,02   1 →(+2%)→ 1+0,02 = 1,02
  1) Calculer u₂ : pour les petits n, on peut utiliser la formule de récurrence :
  formule du cours : u_n+1 = q u_n
  ici : u₁ = 1,02 u₀ = 1,02 × 1200 = 1224
  puis : u₂ = 1,02 u₁ = 1,02 × 1224 = 1248,48 ≈ 1248
    (on arrondit à un nombre d'hebdomadaires donc entier)
  2) formule du cours : u_n = u₀ qⁿ
  ici : u_n = 1200 × 1,02ⁿ
  3) programme : u_n est représenté par la paire (n,u)
  Pour comprendre ce que fait le programme, on exécute manuellement quelques boucles :
  avant la boucle : n=0, u=u₀, S=u₀
  à la fin de la première boucle : n=1, u=u₁, S=u₀+u₁
  à la fin de la deuxième boucle : n=2, u=u₂, S=u₀+u₁+u₂
  Donc :
  à la fin de la n^ième boucle : n=n, u=u_n, S=u₀+u₁+u₂+ . . . +u_n
  S = cumul des ventes depuis le début.
  Sortie de la boucle quand S ≥ 30 000 :
  n=20 : lors de la 20^ème semaine, le nombre total de ventes a dépassé les 30 000
  4) Un an = 52 semaines
  nombre de termes = n+1
  S_n géométrique = u₀ (qⁿ⁺¹ − 1) / (q − 1)
  Par sécurité, on redémontre la formule :
  S_n = u₀+u₁+u₂+ . . . +u_n
  q S_n = u₁+u₂+u₃+ . . . +u_n+1
  par différence : (q−1) S_n = u_n+1 − u₀ = u₀ qⁿ⁺¹ − u₀ = u₀ (qⁿ⁺¹ − 1)
  Soit : S_n = u₀ (qⁿ⁺¹ − 1) / (q−1)
  Remarque : comme on part de u₀, il y a n+1 termes
  S₅₂ = 1200 (1,02⁵³ − 1) / (1,02−1) = 111380,08494942839 ≈ 111 380 exemplaires au total
   
• 02598 exercice 3 page 5
• 02599 exercice 2 page 5
  u₁ = 6 ; u₂ = 12
  1) u₃ : on dessine les hexagones, on les compte et on trouve 18
  pour chacun des 6 côtés, on ajoute 2 carreaux, puis 1 carreau à chaque sommet = 3×6 = 18
  2) u_n = u₁ + 6 (n−1) = 6 + 6 (n−1) = 6 n
  3) u₅ = 6×5 = 30
  nombre de carreaux total :
  S₅ = 1 + 6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 1 + 5×36/2 = 1 + 5×18 = 91
  4) S_n = u₁ + u₂ + . . . + u_n
  S_n = 6 + 2×6 + 3×6 + . . . + n×6
  S_n = 6 (1 + 2 + 3 + . . . + n)
  S_n = 6 n (n+1)/2 = 3 (n² + n) = 3 n² + 3 n
  5) Avec le carreau central : nombre de carreaux total = 3 n² + 3 n + 1
  3 n² + 3 n + 1 = 2977
  équation du second degré : 3 n² + 3 n − 2976 = 0
  remarque : on peut simplifier par 3 car 2976 est divisible par 3 : somme des chiffres 2+9+7+6=24=3×8
  n² + n − 992 = 0 : Δ = 1 + 4×992 = 3969 = 63² : n = (−1 + 63) / 2 = 31
  Le carreleur a effectué 31 étapes

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