EXERCICES : fonction exponentielle   (répertoire)

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  a) f(x) = 5x − 2e^x : f '(x) = 5 − 2e^x ok
  b) g(x) = (x − 3) e^x : g '(x) = (x − 2) e^x ok
  c) h(x) = e^x / (4x) : h'(x) = e^x (4x − 4) / (4x)² = e^x (x − 1) / (4 x²) erreur de signe
  → h'(x) = (u' v − u v') / v² = (e^x 4x − e^x 4) / (4x)²
  → Il faut simplifier par 4 : h'(x) = e^x (4x − 4) / (4x)² = e^x (x − 1) / (4 x²)
  c'est normal : on aurait pu mettre 1/4 en facteur et dériver seulement e^x/x
   
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  A = e⁵ × e⁻² / e⁻⁸ = e⁵⁻²⁺⁸ = e¹¹ ok
  B = (e²)⁻⁴× e⁻² = e⁻⁸⁻² = e⁻¹⁰ erreur
  → (e²)⁻⁴ = e^2×(−4) = e⁻⁸
  C = 1/(e⁻⁴)² + (e⁴)⁻³/(e²×e⁻⁷)
  C = e⁸ + e⁻¹²/e⁻⁵ = e⁸ + e⁻⁷ à terminer
  → 1/e⁻⁸ = e⁸   ou encore : C = e⁸ + 1/e⁷
   
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  a) équation : e^x²−6 − e^−3x = 0
  e^x²−6 = e^−3x
  Comme la fonction exponentielle est monotone : f(a) = f(b) ⇔ a = b
  x²−6 = −3x
  x² + 3x −6 = 0
  Δ = 9 + 24 = 33 > 0 : 2 solutions :
  x ∈ { (−3 − √33)/2 ; (−3 + √33)/2 } à peu près ok
  un erreur de signe dans la ligne : = (3 − √33)/2
  → −b . . . = −3 . . .
  valeurs numériques approximatives : { -4.37 ; 1.37 }
   
  inéquation : e^3x−1 ≥ 1 = e⁰
  Comme la fonction exponentielle est croissante : f(a) ≥ f(b) ⇔ a ≥ b
  3x−1 ≥ 0   soit ; x ≥ 1/3 ok
  ou bien x ∈ [1/3 ; +∞ [
   
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  exercice 4 : f(x) = (x+4) e^x
  a) dérivée de f : f '(x) = u'v+uv' = (1+x+4) e^x = (x+5) e^x ok
  b) tableau de variation :
  zéro de f '(x) : (x+5) e^x = 0 : une seule possibilité : x = −5

  x	−∞		−5		∞
  x+5	−		0	+
  ex	+		+	+
  f '(x)	−		0	+
  f(x)	0	↘	−e−5	↗	∞

  erreur de fonction : f '(x) = (x+5) e^x dont on étudie le signe
   
  c) tangente en a=0
  y = f '(0) (x−0) + f(0) = 5 x + 4 erreur
  → interversion de f(x) et f '(x)
   
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  exercice 5
  u_n = 2ⁿ
  premier terme : n=0 : u₀ = 2⁰ = 1 ok
  raison : q = u_n+1/u_n = 2ⁿ⁺¹/2ⁿ = 2 ok
   
  u_n = 4 e⁻⁶ⁿ
  premier terme : n=0 : u₀ = 4 e⁰ = 4 ok
  raison : q = u_n+1/u_n = 4 e^−6(n+1)/(4 e⁻⁶ⁿ) = e⁻⁶ ok

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