bac 2014 amérique du sud : exercice 3 (sur les suites)     (répertoire)

• énoncé du bac 2014 amérique du sud : exercice 3
• énoncé : u₀ = 2 ; u_n+1 = − (1/2) u_n² + 3 u_n − 3/2
• A) Conjecture :
• A.1) u₁ = − (1/2) u₀² + 3 u₀ − 3/2 = − (1/2) × 4 + 3 × 2 − 3/2 = − 2 + 6 − 3/2 = 4 − 3/2 = 5/2 = 2,5
  u₂ = − (1/2) u₁² + 3 u₁ − 3/2 = − (1/2) × 25/4 + 3 × 5/2 − 3/2 = − 25/8 + 15/2 − 3/2 = − 25/8 + 12/2 = − 25/8 + 48/8 = 23/8 = 2,875
  remarque : on calcule les fractions pour voir leurs positions relatives
  Attention à bien écrire : 3 ≠ 8 afin de ne pas confondre 23 et 28
• A.2) u₃ = − (1/2) u₂² + 3 u₂ − 3/2 = − (1/2) × 2,875² + 3 × 2,875 − 3/2 = 2,9921875 ≈ 2,99219
  remarque : on arrondi le résultat à 10⁻⁵ comme demandé par l'énoncé
  u₄ = − (1/2) u₃² + 3 u₃ − 3/2 = − (1/2) × 2,9921875² + 3 × 2,9921875 − 3/2 ≈ 2,99997
  remarque : pour poursuivre les calculs, on prend la valeur de u₃ non arrondie
  si l'on prenait la valeur arrondie, la précision de u₄ serait moins bonne que 10⁻⁵
• A.3) observation : la suite est croissante sur les 4 premiers termes et se rapproche rapidement de la valeur 3.
  conjecture : la suite (u_n) est croissante et tend vers la limite 3.
• B) Validation de la conjecture : v_n = u_n − 3
• B.1) montrer que v_n+1 = − (1/2) v_n² ?
  Attention à bien écrire : u_n ≠ v_n
  • terme de gauche :
  • on applique la définition de (v_n) : v_n+1 = u_n+1 − 3
  • on applique la définition de (u_n) : v_n+1 = − (1/2) u_n² + 3 u_n − 3/2 − 3 = − (1/2) u_n² + 3 u_n − 9/2
  • on part du résultat à démontrer : terme de droite :
    − (1/2) v_n² = − (1/2) (u_n − 3)² = − (1/2) ( u_n² − 6 u_n + 9 ) = − (1/2) u_n² + 3 u_n − 9/2
  • on constate que v_n+1 et − (1/2) v_n² ont la même valeur : l'égalité : v_n+1 = − (1/2) v_n² est vérifiée.
  • autre méthode qui ne part pas explicitement du résultat : (donc plus difficile)
    • après : v_n+1 = − (1/2) u_n² + 3 u_n − 9/2
    • on applique la définition de (v_n) à l'envers : u_n = 3 + v_n
    • v_n+1 = − (1/2) (3 + v_n)² + 3 (3 + v_n) − 9/2
    • v_n+1 = − (1/2) (9 + 6 v_n + v_n²) + 9 + 3 v_n − 9/2
    • v_n+1 = − 9/2 − 3 v_n − (1/2) v_n² + 9 + 3 v_n − 9/2
    • v_n+1 = − (1/2) v_n² − 3 v_n + 3 v_n − 9/2 + 9 − 9/2
    • v_n+1 = − (1/2) v_n²
  • récapitulatif de la première méthode : v_n+1 → u_n+1 → u_n
                                                              et v_n → u_n
  • récapitulatif de la deuxième méthode : v_n+1 → u_n+1 → u_n → v_n
• B.2) démontrer par récurrence : −1 ≤ v_n ≤ 0 ?     (partie la plus délicate du fait des inégalités)
  • initialisation : on vérifie la propriété pour n = 0 : u₀ = 2 ⇒ v₀ = 2 − 3 = −1
    v₀ vérifie bien : −1 ≤ v₀ ≤ 0
  • hérédité : on suppose que −1 ≤ v_n ≤ 0,
    démontrons que : −1 ≤ v_n+1 ≤ 0 qui est équivalent à : −1 ≤ −(1/2) v_n² ≤ 0
  • remarque : on a appliqué le résultat précédent concernant (v_n)
    • Ce qui revient à étudier la fonction f(x) = −(1/2) x²
    • la fonction f(x) est représentée par une parabole orientée vers les y négatifs (le bas) :
      elle est croissante sur ]−∞ ; 0] et décroissante sur [0 ; ∞[
    • quand une fonction est croissante, l'image du segment [a ; b] est le segment [f(a) ; f(b)]
    • l'image du segment I = [−1 ; 0] est donc [− (1/2) (−1)² ; 0] = [−(1/2) ; 0]
      l'image de v_n ∈ I est v_n+1 ∈ f(I) : −(1/2) ≤ v_n+1 ≤ 0
      comme −1 ≤ −(1/2) : −1 ≤ v_n+1 ≤ 0
  • −1 ≤ v_n ≤ 0   ⇒   0 ≤ v_n² ≤ 1
  •   ⇒   −1 ≤ −v_n² ≤ 0   ⇒   −1/2 ≤ −v_n² / 2 ≤ 0   ⇒   −1/2 ≤ −v_n+1 ≤ 0   ⇒   −1 ≤ −v_n+1 ≤ 0
  • conclusion : −1 ≤ v_n ≤ 0 est vraie ∀ n ≥ 0
• B.3.a) v_n+1 − v_n = − (1/2) v_n² − v_n
  v_n+1 − v_n = − v_n [(1/2) v_n + 1]
• B.3.b) on sait que ; −1 ≤ v_n ≤ 0 d'après la question B.2
  • signe de (1/2) v_n + 1 :
    −1 ≤ v_n ≤ 0   ⇒   −(1/2) ≤ (1/2) v_n ≤ 0
      ⇒   1 − (1/2) ≤ (1/2) v_n + 1 ≤ 0 + 1
    1/2 ≤ (1/2) v_n + 1 ≤ 1
    donc : (1/2) v_n + 1 > 0
  • signe(v_n+1 − v_n) : v_n ≤ 0
    produit de 3 termes ; signe − × (v_n ≤ 0) × [(1/2) v_n + 1 > 0] > 0
    v_n+1 − v_n est une suite croissante.
• B.4) (v_n) est croissante et majorée par 0 : donc elle converge vers une limite L ≤ 0
• B.5) L = −(1/2) L²
  L + (1/2) L² = 0
  L [1 + (1/2) L] = 0
  2 solutions : L = 0 et L = −2
  comme L ∈ [−1 ; 0] la seule limite possible est L = 0
• B.6) concernant la suite (u_n) : u_n = v_n + 3
  comme (v_n) est croissante : (u_n) est croissante
  comme (v_n) → 0 : (u_n) → 3
  les 2 conjectures de A.3 sont validées.

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