cours du 30/09/2015     (répertoire)

• Sujet du bac Amérique du Sud 2014 : exercice 3 modifié
  • une suite (u_n) est une fonction u(n) avec n entier et u réel : les 2 notations sont possibles.
  • Suite : u_n+1 = −(1/2) u_n² + 3 u_n − (3/2)     avec u₀ = 2
    définie par récurrence
  • résoudre l'équation : x = −(1/2) x² + 3 x − (3/2)
    (les racines sont les limites possibles de la suite)
    • On simplifie l'équation en se débarassant des (1/2) : On multiplie tous les termes par 2
      2 x = − x² + 6 x − 3
    • On met l'équation sous la forme : a x² + b x + c = 0 pour appliquer les formules connues.
    • x² − 4 x + 3 = 0
      racine évidente x₁ = 1   d'où :   x₂ = P/x₁ = 3
    • Si la suite converge, elle convergera vers 1 ou 3
      convergence d'une suite quand n → ∞ : la suite se rapproche aussi près qu'on veut de la limite.
      si on choisit un écart ε à la limite : il existe un nombre N suffisamment grand tel que n > N ⇒ | u_n − L | < ε
  • u₀ = 2 : calculer exactement u₁ et u₂
    calculer à 10⁻⁵ près : u₃ et u₄
    • pour n = 0 : u₁ = −(1/2) u₀² + 3 u₀ − (3/2)
      u₁ = −(1/2) × 4 + 3 × 2 − (3/2)
      u₁ = −2 + 6 − (3/2) = 4 − (3/2) = (8 − 3)/2 = 5/2   (=2,5)
    • pour n = 1 : u₂ = −(1/2) u₁² + 3 u₁ − (3/2)
      u₂ = −(1/2) × (25/4) + 3 × (5/2) − (3/2)
      u₂ = −25/8 + 15/2 − (3/2) = −25/8 + 12/2 = −25/8 + 48/8 = 23/8   (=2,875)
    • pour n = 2 : u₃ = −(1/2) u₂² + 3 u₂ − (3/2) = 2,99219
    • pour n = 3 : u₄ = −(1/2) u₃² + 3 u₃ − (3/2) = 2,99997
    • Conjecture : (u_n) est croissante et tend vers la limite 3
  • mettre −(1/2) u_n² + 3 u_n − (3/2) sous la forme canonique
    • la forme canonique de : a x² + b x + c = 0   est :   a (x − x_S)² + y_S
      avec x_S = −b/(2a)   et   y_S = −Δ/(4a)
    • x_S = −3/(2×(−1/2)) = −3/−1 = 3
    • y_S = −(9−4×(−1/2)×(−3/2))/(4×(−1/2)) = −(9−3)/(−2) = −6/(−2) = 3
    • forme canonique : (−1/2) (x − 3)² + 3
      u_n+1 = (−1/2) (u_n − 3)² + 3
  • sachant que : 2 < u_n < 3, démontrer que : 2 < u_n+1 < 3
    • 2 < u_n < 3
    • 2 − 3 < u_n − 3 < 3 − 3
      − 1 < u_n − 3 < 0
    • 0 < (u_n − 3)² < 1
    • 0 > (−1/2) (u_n − 3)² > (−1/2)
      (−1/2) < (−1/2) (u_n − 3)² < 0
    • (−1/2) + 3 < (−1/2) (u_n − 3)² + 3 < 0 + 3
      5/2 < u_n+1 < 3
      2 < 5/2 < u_n+1 < 3
    • donc : 2 < u_n+1 < 3
• Devoir Surveillé : 13,25 / 20
  • 1) Exercice 1 : 4,5 / 5
    • 1.1) intersection de la courbe avec l'axe Ox → signe de Δ : OK
    • 1.2) 4 courbes à associer à 4 équations :
      trop de calculs inutiles ⇒ perte de temps
      Il suffisait de calculer les Δ :
      • Δ < 0 → C2
      • Δ = 0 → C4
      • Δ > 0 → C1 ou C3 ; si a > 0 → C1 ; si a < 0 → C3
  • 2) Exercice 2 : 4,75 / 7
    • A.1.a) x² − 6 x = 0   ⇒   x (x − 6) = 0   ⇒   racines 0 et 6
      pour cette équation, il ne fallait pas perdre de temps à calculer Δ
    • A.1.b) x² − 6 x + 4 = 0   ⇒   Δ = 36 − 4 × 1 × 4 = 20
      x = (6 ± 2 √5) / 2 = 3 ± √5   OK
    • A.1.c) x² − 6 x + 15 = 0   ⇒   Δ = 36 − 4 × 1 × 15 = − 24
      pas de racines   OK
    • A.2) x² − 6 x + m = 0   ⇒   Δ = 36 − 4 × 1 × m = 36 − 4 m
      • Δ < 0   ⇔   36 − 4 m < 0   ⇔   36 < 4 m   ⇔   9 < m   : m > 9   (pas de racine)
      • Δ = 0   ⇔   m = 9   (une racine double)
      • Δ > 0   ⇔   m < 9   (2 racines)
      • On vérifie que l'on retrouve les résultats de la question précédente.
      • raisonnement bon, mais une erreur de calcul t'a fait perdre 1 point
        par contre : pas d'explication Δ < 0   ⇔   m > 9
    • B) f(x) = x² − 6 x + 5
      • 1) Sommet x_S = −b/(2a)   ;   y_S = −Δ/(4a)
      • a > 0 : f(x) est décroissant pour x < x_S
        f(x) est croissant pour x > x_S
      • x_S = 6/2 = 3   ;   y_S = −(36 − 20)/4 = −4   OK
      • 2) pour tracer une courbe : calculer une liste de points ; ici x = −3, −2, . . . , 6, 7
        apprendre à calculer des listes :   (1 point perdu)
        http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/201_graph25_.pdf
  • 3) Exercice 3 : 4 / 6   (2 points perdus) d(v) = (1/5) v + (1/150) v²
    • 1) v = 120 km/h → d = 120 m   OK
    • 2) d = 72 m → v = 90 km/h   OK
    • 3) d < 12 : → v < ? ? ?
  • 4) Exercice 4 : 0 / 2   (2 points perdus)
    • − 3 x² + 4 x + 4 ≥ 0 : solution [0,7 ; 2] ? ? ?
    • 1) d'après la croube tracée sur la calculatrice : est-ce vrai ?
    • 2) tableau de signe, calculer les racines : conclusion ?

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