cours du 11/11/2015     (répertoire)

• calculs :
  • (a / b)² = a² / b²
    alors que : (a + b)² = a² + 2 a b + b²
  • √a / b = √a / √b
    alors que : √a + b est beaucoup plus compliqué.
  • équation : a x² + b x + c = 0
    Δ = b² − 4 a c
    x = (−b ± √Δ) / (2 a)
    du signe de "a" en dehors des racines
  • simplification d'une fraction : x = (−A) / (−B)
    on multiplie par "−1" le numérateur et le dénominateur : ce qui ne change pas la valeur de x
    car (−1) / (−1) = 1
  • (√a)² = a
    par contre : √a² = |a|
  • √4 = 2
    √8 = √4 × 2 = 2 √2
  • si : a et b > 0 :   a² < b² ⇔ a < b
    car f(x) = x² est croissante pour x > 0
    mais f(x) = x² est décroissante pour x < 0 :   donc si a et b < 0 :   a² < b² ⇔ a > b
  • encadrement : a ≤ x ≤ b
    Si on arrondi les bornes [a ; b], il faut inclure l'intervalle
      la borne inférieure a doit être arrondie par défaut
      la borne supérieure b doit être arrondie par excès
    remarque : problème déjà rencontré pour les intervalles de confiance en probabilités.
• D.M. : f(x) = √1 + x
  • signes des fonctions (afin de savoir comparer les fonctions à partir de leurs carrés)
    • f(x) = √1 + x ≥ 0   pour x ≥ −1
    • g(x) = 1 + x / 2 ≥ 0   pour x ≥ −2   donc pour x ∈ [0 ; 1]
    • h(x) = 1 + x / 2 − x² / 8 ≥ 0   pour x entre les racines (a = −1 / 8)
      a = −1 / 8 ; b = 1 / 2 ; c = 1
      Δ = b² − 4 a c = 1 / 4 − 4 (−1 / 8) 1 = 1 / 4 + 1 /2 = 3 / 4 > 0
      racines : (−b ± √Δ) / (2 a)
      x_1,2 = [ (−1 / 2) ± (√3 / 2) ] / [ 2 (−1 / 8) ]
      x_1,2 = [ (−1 / 2) ± (√3 / 2) ] / (−1 / 4)
      x_1,2 = [ (1 / 2) ± (√3 / 2) ] / (1 / 4)
      en multipliant par 4 "en haut et en bas" :
      x_1,2 = 2 ( 1 ± √3 )
      x₁ = 2 ( 1 − √3 ) < 0
      x₂ = 2 ( 1 + √3 ) > 4
      h(x) ≥ 0 pour x ∈ [x₁ ; x₂], donc pour x ∈ [0 ; 1] ⊂ [x₁ ; x₂]
  • encadrement de f(x) par les fonctions g(x) = 1 + x / 2 et h(x) = 1 + x / 2 − x² / 8
    • [f(x)]² = (√1 + x)² = 1 + x
      [g(x)]² = (1 + x / 2)² = 1 + x + x²/4 = [f(x)]² + x²/4
      [g(x)]² ≥ [f(x)]² ⇒ g(x) ≥ f(x) car f(x) et g(x) > 0 sur l'intervalle [0 ; 2]
    • [h(x)]² = [g(x)]² + 2 g(x) (− x² / 8) + x⁴ / 64
      [h(x)]² = [f(x)]² + x²/4 − x² (1 + x / 2) / 4 + x⁴ / 64
      [h(x)]² = [f(x)]² + x²/4 − x² / 4 − x³ / 8 + x⁴ / 64 = [f(x)]² − x³ / 8 + x⁴ / 64
      [h(x)]² = [f(x)]² + x³ (− 1 + x / 8) / 8
    • [h(x)]² − [f(x)]² est du signe de (x − 8) ≤ 0 pour : 0 ≤ x ≤ 8   donc pour x ∈ [0 ; 1]
      [h(x)]² − [f(x)]² < 0
      [h(x)]² < [f(x)]²
      h(x) < f(x)   (car f(x) et h(x) ≥ 0)
  • pour x ∈ [0 ; 1], on a trouvé : h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)
  • encadrement trouvé : 1,000 000 999 999 ≤ f(0,000 002) ≤ 1,000 001 000 000
    • h(2×10⁻⁶) ≤ f(2×10⁻⁶) ≤ g(2×10⁻⁶)
    • 1 + 1×10⁻⁶ − 4×10⁻¹² / 8 ≤ f(2×10⁻⁶) ≤ 1 + 1×10⁻⁶
    • 1 + 1×10⁻⁶ − 0,5×10⁻¹² ≤ f(2×10⁻⁶) ≤ 1 + 1×10⁻⁶
    • 1,000 001 − 0,000 000 000 000 5 ≤ f(2×10⁻⁶) ≤ 1,000 001
    • 1,000 000 999 999 5 ≤ f(2×10⁻⁶) ≤ 1,000 001
• algorithme :
  • 1) déclaration des variables utilisées dans l'algorithme : réel x, entier n, . . .
  • suivre la valeur des variables
  • traiter chaque ligne successivement

retour au menu :   cours 2015   math 1ère S   math