cours du 18/11/2015 : méthodes     (répertoire)

• positions de 2 courbes : C_f de f(x)   et   C_g de g(x)
  • on étudie le signe de f(x) − g(x)
  • on calcule : δ(x) = f(x) − g(x)     (on le simplifie)
  • on factorise δ(x) pour étudier son signe
  • on fait un tableau de signes avec chaque facteur
  • si f(x) − g(x) > 0 : f(x) > g(x)   :   C_f est au-dessus de C_g
    si f(x) − g(x) < 0 : f(x) < g(x)   :   C_f est au-dessous de C_g
• factoriser une expression :
  • pour une somme de fractions : les mettre au même dénominateur.
  • factoriser les facteurs dont on connaît les signes : (a x + b) et (a x² + b x + c)
        (signe(a) à droite des racines : x→+∞)
    identité remarquable de factorisation : a² − b² = (a − b) (a + b)
  • si on a des racines : √A + B     (avec B < 0)
    multiplier "en haut et en bas" par l'expression conjuguée : √A − B
    à condition que le signe de √A − B soit facile à calculer : si (− B) > 0
• fractions : résoudre f(x) = (x² + 2 x − 63) / (2 x² − 8 x − 42) = 0
  • il faut résoudre le système suivant :
    • numérateur = x² + 2 x − 63 = 0
    • et dénominateur = 2 x² − 8 x − 42 ≠ 0
  • après factorisation :
    • numérateur = (x − 7) (x + 9) = 0
    • et dénominateur = 2 (x − 7) (x + 3) ≠ 0
  • solution :
    • x = 7 ou x = − 9
    • et x ≠ 7 et x ≠ − 3
  • une seule solution acceptable : x = − 9
• asymptotes : points à l'infini des courbes.
  • asymptotes horizontales ou inclinées : quand x → ± ∞
    • équation de l'asymptote : y = a x + b
    • a = limite de f(x) / x   quand r → ± ∞
      si a = 0 : asymptote horizontale.
    • b = limite de f(x) − a x quand r → ± ∞
  • asymptotes verticales : quand y → ± ∞ pour x = a.
    exemple : y = 2 x / (3 x − 5)   division par zéro pour x = 5/3 : asymptote verticale y(5/3) = ∞
        plus rigoureusement : quand x → 5/3   :   y(x) → ± ∞
• opérations géométriques :
  • translation :
    • horizontale : (x)   →(remplacé par)→   (x − x₀)
      exemple : f(x) = 1 / x   translatée de +2 en x :   g(x) = 1 / (x − 2)
      le centre de symétrie de l'hyperbole passe de (0, 0) à (2, 0)
    • verticale : (y)   →(remplacé par)→   (y − y₀)
      exemple : f(x) = 1 / x   translatée de −1 en y :   g(x) − (−1) = (1 / x)
                      g(x) = (1 / x) − 1
      le centre de symétrie de l'hyperbole passe de (0, 0) à (0, −1)
  • affinité : d'axe Ox, de direction Oy et de rapport λ : g(x) = λ f(x)
    l'axe de l'affinité ne change pas
    repère (O ; Ox , Oy) : OM = (x, f(x)) est transformé en OM = (x, λ f(x))
    exemple : f(x) = 1 / x   →   g(x) = 5 / x
  • symétries :
    • d'axe Ox : f(x)   →   g(x) = − f(x)
      exemple : f(x) = 1 / x   →   g(x) = − 1 / x
    • d'axe Oy : x → −x
      exemple : f(x) = x / (3 + x)   →   g(x) = (− x) / (3 − x)
      g(x) = f(−x)
  • forme générale d'une fonction homographique : (exemple de calcul)
    • y = (a x + b) / (c x + d)
      asymptote horizontale : x → ∞ , alors y → a/c (rapport des termes de plus haut degrés) = y₀
      asymptote verticale : x → − d / c = x₀ alors y → ± ∞
      centre de symétrie : (x₀ ; y₀) = (−d/c ; a/c)
    • y = y₀ + λ / (x − x₀) = (a / c) + λ / [ x + (d / c) ] = [ a x + (a d / c) + c λ ] / (c x + d)
      il faut prendre b = (a d / c) + c λ
      ou encore : λ = b / c − a d / c²
    • en résumé : (a x + b) / (c x + d) = y₀ + λ / (x − x₀)     avec x₀ = − d/c   ;   y₀ = a/c   et   λ = b/c − ad/c²
    • dérivée : y' = − λ / (x − x₀)² = (a d − b c) / (c x + d)²
  • parabole : y = a x² →(translation)→ y = a x² + b x + c
    • y = a x² parabole de sommet (0 ; 0)
    • translation de vecteur : (x₀ ; y₀)
      • y − y₀ = a (x − x₀)²
      • y = y₀ + a x² − 2 a x₀ x + a x₀²
      • y = a x² + (−2 a x₀) x + (a x₀² + y₀)
            donc : b = −2 a x₀   et   c = a x₀² + y₀
          ou : x₀ = − b/(2a)
          et   y₀ = c − a x₀² = c − a [− b/(2a)]² = c − b²/(4a) = (− 4 a c + b²) / (4a) = − Δ / (4a)
      • parabole de sommet (x₀ ; y₀)

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