- 1) on donne une racine : Calculer P(2)
on trouve P(2) = 23 − 8 × 22 + 21 × 2 − 18 = 8 − 32 + 42 − 18 = 50− 50 = 0
2 est une racine de P(x) donc P(x) = (x − 2) Q(x) - 2) factoriser P(x) : P(x) = (x − 2) Q(x) où Q(x) est un polynôme du second degré
- les coefficients de Q(x) sont encore inconnus : Q(x) = a x2 + b x + c
- P(x) = (x − 2) (a x2 + b x + c) = x3 − 8 x2 + 21 x − 18
- a x3 + (−2 a + b) x2 + (−2 b + c) x − 2 c = x3 − 8 x2 + 21 x − 18
- pour que les 2 polynômes soient égaux (quelque soit x), ils faut qu'ils soient identiques.
2 polynômes sont identiques s'ils ont les mêmes coefficients.
on peut aussi mettre tout à gauche du signe = ,
on obtient : (a − 1) x3 + (−2 a + b + 8) x2 + (−2 b + c − 21) x + (− 2 + 18) = 0 quelque soit x ∈ R,
il doit avoir une infinité de racines : P(x) = fonction nulle(x) = 0 (ne dépend pas de x) (représentée par l'axe Ox : y = 0) - en identitifiant les coefficients du polynôme : 4 équations pour 3 inconnues (1 équation redondante)
(coefficient de x3) : a = 1 ⇒ a = 1 (coefficient de x2) : −2 a + b = − 8 ⇒ b = −8 + 2 a = −8 + 2 = −6 (coefficient de x) : −2 b + c = 21 ⇒ c = 21 + 2 b = 21 − 12 = 9 (coefficient constant) : − 2 c = − 18 ⇒ c = 9 (permet de vérifier qu'il n'y a pas d'erreur) - P(x) = (x − 2) (x2 − 6 x + 9)
factorisation du trinôme : Δ = b2 − 4 a c = 36 − 36 = 0
racine double : x = − b / (2 a) = 6 / 2 = 3
P(x) = (x − 2) (x − 3)2
- V = (5 ; 5) dans la base (i,j) signifie : V = 5 i + 5 j
- géométriquement : exprimer un vecteur V dans la base (u,v)
- on trace des parallèles aux vecteurs u et v partant des 2 extrêmités du vecteur V
- ce qui définit un parallélogramme.
- à partir de l'origine du vecteur V, on compte le nombre de vecteurs u jusqu'à l'intersection,
puis le nombre de vecteurs v jusqu'à l'extrêmité du vecteur V : V = 3 u + 4 v - Ou bien on déplace le vecteur V à l'origine de la base (u,v).
- algébriquement :
- nouvelle base :
u = (3, −1) dans la base (i,j) : u = 3 i − j
v = (−1, 2) dans la base (i,j) : v = − i + 2 j
V = 5 i + 5 j = x u + y v
1) on remplace u et v par leurs expressions en fonction de (i, j) (solution la plus simple)
ou 2) on peut aussi remplacer i et j par leurs expressions en fonction de (u, v) (mais il y a plus de calculs) - 1) on remplace u et v par leurs expressions en fonction de (i, j) (solution la plus simple)
- V = x u + y v = x (3 i − j) + y (− i + 2 j) = (3 x − y) i + (− x + 2 y) j = 5 i + 5 j
- d'où le sytème :
coef de i : 5 = 3 x − y
coef de j : 5 = − x + 2 y - élimination de x : on multiplie la seconde équation par 3
5 = 3 x − y
15 = − 3 x + 6 y
somme : 20 = 5 y ⇒ y = 4 - élimination de y : on multiplie la première équation par 2
10 = 6 x − 2 y
5 = − x + 2 y
somme : 15 = 5 x ⇒ x = 3 - réponse : V = 3 u + 4 v soit V = (3 ; 4) dans la base (u,v)
- 2) ou bien on remplace i et j en fonction de (u, v) (mais il y a plus de calculs)
- On exprime i et j en fonction de u et v pour les remplacer dans l'expression de V = 5 i + 5 j
- résolution du système pour les inconnues i et j :
- système :
u = 3 i − j
v = − i + 2 j - élimination de i :
u = 3 i − j
3 v = − 3 i + 6 j
somme : u + 3 v = 5 j ⇒ j = (1/5) u + (3/5) v - élimination de j :
2 u = 6 i − 2 j
v = − i + 2 j
somme : 2 u + v = 5 i ⇒ i = (2/5) u + (1/5) v
- système :
- réponse : V = 5 i + 5 j = 5 [(2/5) u + (1/5) v] + 5 [(1/5) u + (3/5) v] = 2 u + v + u + 3 v = 3 u + 4 v
- avantage : si on a plusieurs vecteurs à calculer dans la nouvelle base (u,v), il n'y a plus beaucoup de calculs à faire.
- nouvelle base :