cours du 02/12/2015 : dérivées     (répertoire)

• Nouvelles dérivées : il faut appliquer la formule générale :
  • limite de (f(x+h) − f(x)) / h quand h → 0
    c'est une forme indéterminée de la forme : 0 / 0
    il faut simplifier par h pou le ver l'indétermination
  • exemple : dérivée de √x
    (√x)' = limite de (√x+h − √x) / h quand h → 0
    on multiplie (le numérateur et le dénominateur) par la forme conjuguée : (√x+h + √x)
    = limite de [ (√x+h − √x) (√x+h + √x)] / [ h (√x+h + √x)]
    = limite de [ (√x+h)² − (√x)² ] / [ h (√x+h + √x)]
    = limite de [ x + h − x ] / [ h (√x+h + √x)]
    = limite de h / [ h (√x+h + √x)]
    on simplifie par h : ce qui lève l'indétermination
    = limite de 1 / (√x+h + √x)
    la forme n'est plus indéterminée : on remplace h par 0
    (√x)' = 1 / (√x+0 + √x) = 1 / (2 √x)
  • Quand on a calculé une dérivée par cette méthode générale, on l'apprend par coeur pour l'utiliser dans le calcul des dérivées plus compliquées.
    utiliser le questionnnaire : fonctions trigo. & dérivées
    cette méthode générale sert pour les dérivées de fonctions que l'on ne connaît pas :
    souvent des fonctions définies par continuité
    exemple : f(x) = x √x
        on sait calculer f '(x) pour x > 0
        mais pour x = 0, il faut appliquer la formule générale :
    dérivée en x=0 : f '(0) = limite de ((0+h) √0+h − 0 √0) / h = limite de √h = √0 = 0
• dérivée la plus importante : (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹
  valable quelque soit n, même réel

  n	(xn)' =			n xn−1
  n = 3	(x3)' =			3 x2
  n = 2	(x2)' =		2 x1 =	2 x
  n = 1	(x1)' =	(x)' =	1 × x0 =	1
  n = 0	(x0)' =	(1)' =	0 × x−1 = 0 / x =	0
  n = −1	(x−1)' =	(1/x)' =	−1 × x−2 =	− 1 / x2
  n = −2	(x−2)' =	(1/x2)' =	−2 x−3 =	− 2 / x3
  n = 1/2	(x1/2)' =	(√x)' =	(1/2) × x−1/2 =	1/(2 √x)

• dérivée de f(u(x)) par rapport à x : f(u(x))' = f '(u) × u'
  soit : df/dx = df/du × du/dx
  exemple : f(x) = 1 / (x² + 1)
  • on se ramène à une forme que l'on sait dériver : f(x) = 1 / u(x)
    avec u = (x² + 1)   et   u' = 2 x
  • f '(x) = (−1/u²) × u'
  • il ne reste plus qu'à remplacer u et u' :
    = − 2 x / (x² + 1)²
• formules à conaître :
  • (u + v)' = u' + v'   et   (u − v)' = u' − v'
  • (u v)' = u' v + u v'
  • (u v w)' = u' v w + u v' w + u v w'
  • (u / v)' = (u' v − u v') / v²
  • (uⁿ)' = n uⁿ⁻¹ u'
• vecteurs en 3d : base (O, vecteur(i), vecteur(j), vecteur(k))
  • point : M (x, y, z) = x vecteur(i) + y vecteur(j) + z vecteur(k)
  • vecteur(AB) = B − A = (x_B − x_A) vecteur(i) + (y_B − y_A) vecteur(j) + (z_B − z_A) vecteur(k)
  • vecteurs orthogonaux : U . V = 0
    avec le produit scalaire : U . V = x_U x_V + y_U y_V + z_U z_V
  • Droite (D) orthogonale à un plan (P) :
    si elle est orthogonale à toutes les droites du plan (P).
    pour cela il suffit qu'elle soit perpendiculaire à 2 vecteurs de base du plan (P)
  • l'équation cartésienne d'un plan orthogonal aux vecteur N(a, b, c)
    est de la forme : a x + b y + c z + d = 0

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