cours du 09/12/2015 : vecteurs     (répertoire)

• vecteur(AB) = B − A     (extrêmité − origine)     (ok)
  valable en 2D comme en 3D
• équation cartésienne d'une droite : a x + b y + c = 0     avec (b ; −a) ou (−b ; a), un vecteur directeur de la droite
  on choisit celui des deux avec le moins de signes "−"
• pour comparer 2 vecteurs, il faut les exprimer dans la même base : vecteur(u) = x vecteur(i) + y vecteur(j)
  ou bien : vecteur(u) = (x ; y) dans la base (i,j)
  ils sont égaux s'ils ont des composantes égales.
  un point, un vecteur ont 2 composantes : un point, un vecteur ∈ ℜ² (en 2D)
  une distance est un nombre qui mesure la longueur d'un vecteur :
  dans un repère orthonormé : L = √x² + y²  ∈ ℜ
• vecteurs u et v sont colinéaires : u(x₁ ; y₁) et v(x₂ ; y₂)
  il existe λ tel que u = λ v
  donc : λ = x₁ / x₂ = y₁ / y₂
  d'où l'égalité des produits en croix : x₁ y₂ = x₂ y₁
• intersection de 2 droites : (d₁) et (d₂)
  • l'intersection appartient aux deux droites : elle vérifie les 2 équations simultanément :
    (d₁) : a₁ x + b₁ y + c₁ = 0
    (d₂) : a₂ x + b₂ y + c₂ = 0
  • on utilise la méthode de combinaison :
    en multipliant chaque équation pour que leur somme fasse disparaître une des inconnues
    exemple : élimination de y :

    (d1) :	a1 x	+	b1 y	+	c1	= 0	|| × b2
    (d2) :	a2 x	+	b2 y	+	c2	= 0	|| × (−b1)
    somme :	(a1 b2 − a2 b1) x	+	(b1 b2 − b2 b1) y	+	(c1 b2 − c2 b1)	= 0
    somme :	(a1 b2 − a2 b1) x	+	0 y	+	(c1 b2 − c2 b1)	= 0

    d'où : x = − (c₁ b₂ − c₂ b₁) / (a₁ b₂ − a₂ b₁)
    remarque : si le diviseur (a₁ b₂ − a₂ b₁) = 0,
      c'est que les droites sont parallèles ou confondues
  • quand on a une inconnue, on peut utiliser la méthode de substitution.
    ou recommencer la méthode d'élimination en éliminant l'inconnue déjà trouvée.
• en repère orthonormé :
  • 2 vecteurs u et v sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul : u · v = x₁ x₂ + y₁ y₂ = 0
  • pour une droite a x + b y + c = 0     le vecteur(a ; b) est perpendiculaire à la droite.
    en effet (b ; −a) · (a ; b) = b a − a b = 0
  • ||V|| = √x² + y²  ∈ ℜ
  • équation d'une droite de vecteur perpendiculaire N = (a, b) à la distance d de l'origine : (a/√a² + b² ) x + (b/√a² + b² ) y = d
    le vecteur perpendiculaire normé (de longueur 1) : n = (a, b) / √a² + b² 
    équation avec les vecteurs : vecteur(OM) · vecteur(n) = d

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