question 1.1) quel est son domaine de définition ?
pas de racine carrée, mais une division : valeur interdite : 4 x − 5 = 0 soit x = 5/4
domaine de définition : R − {5/4}
question 1.2) calculer sa dérivée et faire son tableau de variation ?
f(x) = u / v avec u = 3 x + 2 et v = 4 x − 5
u' = 3 et v' = 4
f '(x) = (u' v − u v') / v2 = [ 3 (4 x − 5) − (3 x + 2) 4 ] / (4 x − 5)2
= [ 12 x − 15 − 12 x − 8 ] / (4 x − 5)2
= − 23 / (4 x − 5)2
question 1.3) trouver les équations de ses 2 asymptotes (une verticale et une horizontale) ?
asymptote verticale : y → ∞ quand on divise par zéro : x = 5/4
asymptote horizontale : quand x → ∞,
lim f(x) = lim 3 x [ 1 + 2/(3x) ] / [ 4 x (1 − 5/(4x))]
lim f(x) = lim 3 [ 1 + 2/(3x) ] / [ 4 (1 − 5/(4x))]
= 3 [ 1 + 0 ] / [ 4 (1 − 0)] = 3/4
question 1.4) quelle est la positon de la courbe Cf par rapport à son asymptote
quand x tend vers + l'infini et − l'infini ?
on étudie le signe de : δ(x) = f(x) − y(x)
δ(x) = f(x) − y(x) = (3 x + 2) / (4 x − 5) − 3/4
δ(x) = [ 4 (3 x + 2) − 3 (4 x − 5) ] / [ 4 (4 x − 5) ]
δ(x) = [ 12 x + 8 − 12 x + 15) ] / [ 4 (4 x − 5) ]
δ(x) = 23 / [ 4 (4 x − 5) ] du signe de (4 x − 5)
x
−∞
5/4
∞
4 x − 5
−
0
+
δ(x)
−
||
+
position
Cf est en dessous de l'asymptote
||
Cf est au-dessus de l'asymptote
2) soient : la fonction g(x) = (5 x2 + 4 x + 6) / (x − 5) et la droite y(x) = 5 x + 29
question 2.1) vérifier que l'on ne peut pas simplifier la fraction
racine du dénominateur : x = 5
racines du numérateur : Δ = b2 − 4 a c = 16 − 4 × 5 × 6 = 16 − 120 = − 104 < 0
pas de racines réelles : pas de simplification possible
remarque : on pouvait aussi remplacer x par 5 dans le numérateur : 5 × 52 + 4 × 5 + 6
= 125 + 20 + 6 = 151 ≠ 0
question 2.2) démontrer que la droite d'équation y(x) est l'asymptote de la fonction g(x) quand x → +∞
c'est-à-dire que : limite de g(x) − y(x) = 0 quand x → +∞ lim de g(x) − y(x) = lim (5 x2 + 4 x + 6) / (x − 5) − (5 x + 29)
lim de g(x) − y(x) = lim [ 5 x2 + 4 x + 6 − (5 x + 29) × (x − 5) ] / (x − 5)
lim de g(x) − y(x) = lim [ 5 x2 + 4 x + 6 − (5 x2 − 25 x + 29 x − 145) ] / (x − 5)
lim de g(x) − y(x) = lim [ 4 x + 6 − (4 x − 145) ] / (x − 5)
lim de g(x) − y(x) = lim [ 6 + 145 ] / (x − 5) = lim 151 / (x − 5)
lim de g(x) − y(x) = lim 151 / [ x (1 − 5/x) ] = lim 151 / [ x (1 − 0) ] = lim 151 / x = 0
rappel important : la dérivée de f(u(x)) est f '(u) × u'
d'où par exemple : (1 / u)' = − u' / u2 plus précisément : (1 / (a x + b))' = − a / (a x + b)2
P(n) désigne une certaine propriété dépendant d’un entier n et n0 désigne un entier naturel donné.
On veut démontrer que pour tout entier naturel n ≥ n0, la propriété P(n) est vraie.
Pour cela, on procède en quatre étapes :
Etape 1. On réécrit explicitement la propriété à démontrer sans oublier de préciser les valeurs de n pour
lesquelles cette propriété est vraie (n ≥ n0).
Etape 2 (initialisation). On vérifie que P(n0) est vraie.
Etape 3 (hérédité). On se donne un entier n ≥ n0 quelconque.
On suppose que pour cet entier n la propriété P(n) est vraie (c'est l'hypothèse de récurrence)
et on montre que sous cette hypothèse la propriété P(n + 1) est vraie.
Etape 4 (conclusion). On conclut en encadrant le résultat : pour tout n ≥ n0, P(n) est vraie.
Etape 1. on veut démontrer que un = 2n+1 − 1 pour n ≥ 0
Etape 2 (initialisation) : n = 0 : 20+1 − 1 = 2 − 1 = 1 = u0
Etape 3 (hérédité) : on suppose que un = 2n+1 − 1
et on veut démontrer que : un+1 = 2n+2 − 1
un+1 = 2 un + 1 = 2 × (2n+1 − 1) + 1
un+1 = 2n+2 − 2 + 1 = 2n+2 − 1
Etape 4 (conclusion) la propriété un = 2n+1 − 1 est vraie pour n ≥ 0
suite Arithmético-géométrique : un+1 = q un + r
seule limite possible : L = q L + r ⇒ L = r / (1 − q)
vn = un − L : suite géométrique de raison q
vn = v0 qn = (u0 − L) qn
un − L = (u0 − L) qn un = (u0 − L) qn + L
application à : u0 = 2 ; un+1 = (1/2) un + 2
q = 1/2 et r = 2 d'où : L = 2 / (1/2) = 4
un = (u0 − L) qn + L
= (2 − 4) / 2n + 4
= − 1 / 2n−1 + 4
1) AD : définition du cosinus : AB = AD cos(θ)
lapin : v = d / t ⇒ t1 = . . .
le lapin traverse la route avant l'arrivée du camion si t1 < t2
conclure :
tracer de la courbe f(x) sur la calculatrice : elle frôle l'axe Ox
femêtre utilisée : en x : [0 π/2[ en y : [−1 ; 1]
zoom boîte autour du sommet : on voit que f(x) passe positif pour un angle de l'ordre de 0,5
étude de la fonction : f(x) = 7/2 + 2 tan(θ) − 4/cos(θ) = 7/2 + 2 u/v − 4/v
avec : u = sin(θ) et u' = cos(θ)
avec : v = cos(θ) et v' = −sin(θ)
Le lapin peut traverser la route avant le camion pour un angle de π/6 = 30°