cours du 13/01/2016 : ?     (répertoire)

• rappel de probabilités : formules à connaître
  • P(A) + P(A) = 1
  • P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)
    d'où la formule : P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A)
  • probabilité totale : P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
    en détaillant P(A ∩ B) et P(A ∩ B) :
    P(B) = P(A) × P_A(B) + P(A) × P_A(B)
  • et la formule : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
    car dans P(A) + P(B) on a compté 2 fois l'intersection : on la retire 1 fois.
  • Si les évènements A et B sont indépendants alors : P_A(B) = P(B)   : P(B) ne dépend pas de A
    de même : P_B(A) = P(A)   : P(A) ne dépend pas de B
  • arbre des proba. en commençant par A A ; puis B B :

    Univers	→→P(A)→→	A	→→PA(B)→→	A ∩ B
    			→→PA(B)→→	A ∩ B
    	→→P(A)→→	A	→→PA(B)→→	A ∩ B
    			→→PA(B)→→	A ∩ B

    Il y a un autre arbre commençant par par B B ; puis A A :
  • tableau des 4 évènements élémentaires : A ∩ B . . .

    	A	A
    B	P(A ∩ B) = 0,06	P(A ∩ B) = 0,08	P(B) = 0,14
    B	P(A ∩ B) = 0,54	P(A ∩ B) = 0,32	P(B) = 0,86
    	P(A) = 0,60	P(A) = 0,40	P(Univers) = 1

• 2 exercices sur les équations du 1^er degré
  • 1) résoudre dans ℜ :
    • −7 (2 x − 3) + 5 (4 x + 1) = −6 x + 2
      • il n'y a pas de facteur commun aux 3 termes : on développe.
      • −14 x + 21 + 20 x + 5 = −6 x + 2
      • 6 x + 26 = −6 x + 2
      • 12 x = 2 − 26 = − 24
      • x = − 24 / 12 = −2       S = { −2 }
    • (−3 x + 4) (2 x + 7) = 0
      • un produit est nul si un des facteurs est nul :   donc 2 solutions
      • −3 x + 4 = 0   ⇒   x₁ = 4/3
      • 2 x + 7 = 0   ⇒   x₂ = −7/2       S = { −7/2 ; 4/3 }
    • x² − 100 = 0
      • identité remarquable pour factoriser : a² − b² = (a + b) (a − b)
      • (x + 10) ( x − 10) = 0   2 solutions
      • x₁ = −10 et x₂ = 10       S = { −10 ; 10 }
    • 9 (x − 1)² − (x − 4)² = 0
      • identité remarquable : a² − b² = (a + b) (a − b)
      • [3 (x − 1) + (x − 4)] [3 (x − 1) − (x − 4)] = 0
      • [3 x − 3 + x − 4] [3 x − 3 − x + 4] = 0
      • [4 x − 7] [2 x + 1] = 0
      • x₁ = 7/4 et x₂ = −1/2       S = { −1/2 ; 7/4 }
    • 3 / (x + 2) − 5 / (x − 2) = 0
      • il n'y a pas de facteur commun aux 2 termes :
        on factorise en mettant au même dénominateur.
      • 3 (x − 2) / [(x + 2) (x − 2)] − 5 (x + 2) / [(x + 2) (x − 2)] = 0
      • [3 (x − 2) − 5 (x + 2)] / [(x + 2) (x − 2)] = 0
      • [3 x − 6 − 5 x − 10] / [(x + 2) (x − 2)] = 0
      • [−2 x − 16] / [(x + 2) (x − 2)] = 0
      • −2 x − 16 = 0   ⇒   x = 16 / (−2)
      • solution : x = −8       S = { −8 }
      • attention : on vérifie que −8 n'annule pas le dénominateur : OK
  • 2) Le prix d'un article est de 180 € ; Ce prix subit une majoration au taux de 25% puis une minoration au taux de t%
    • Calculer t sachant que le prix de l'article est à nouveau 180 € :
      180 × 1,25 × (1 − t/100) = 180
      1,25 × (1 − t/100) = 1
      1 − t/100 = 1 / 1,25
      − 1 + t/100 = − 1 / 1,25
      t/100 = 1 − 1 / 1,25
      t = 100 (1 − 1 / 1,25) = 100 (1,25 − 1) / 1,25 = 100 × 0,25 / 1,25 = 100 × (1/5) = 20
    • l'article a reçu une minoration de 20 %
• 5 exercices de mise en équation
  • 1) téléphone portable + étui :
    • Un téléphone portable et son étui coûtent ensemble 110 € : t + é = 110
    • Le téléphone coûte 100 € de plus que l'étui : t = é + 100
    • substitution puisque on a t(é) : é + 100 + é = 110
      2 é = 10
      é = 5   donc   t = 5 + 100 = 105
    • prix du téléphone : 105 €   et le prix de l'étui : 5 €
  • 2) Paul va au marché :
    • Il achète trois tomates et quatre poireaux. Il paye 2,65 € : 3 t + 4 p = 2,65 (éq.1)
    • Marie paye 1,30 € pour 5 tomates et 1 poireau : 5 t + 1 p = 1,30 (éq.2)
    • combinaison : 5 (éq.1) − 3 (éq.2) : (20 − 3) p = 5 × 2,65 − 3 × 1,30
      17 p = 9,35   donc   p = 9,35 / 17 = 0,55
    • combinaison : 1 (éq.1) − 4 (éq.2) : (3 − 20) t = 2,65 − 4 × 1,30
      −17 t = −2,55   donc   t = −2,55 / (−17) = 0,15
    • prix d'un poireau : 0,55 €   et le prix d'une tomate : 0,15 €
  • 3) Trois enfants se partagent une certaine somme d'argent :
    • Le premier reçoit un quart de la somme totale : e1 = s / 4
    • Le second reçoit les deux tiers de cette somme : e2 = (2/3) s = 2 s / 3
    • Sachant que le premier enfant a reçu 120 € : e1 = 120 ⇒ s = 4 e1 = 480
    • e2 = 2 s / 3 = 960 / 3 = 320
      e3 = s − e1 − e2 = 480 − 120 − 320 = 480 − 440 = 40
    • le troisème enfant a reçu 40 €
  • 4) vidéoclubs, location de n cassettes
    • Vidéo Futur propose chaque location à 1,50 €, à condition d'avoir payé 14 € d'abonnement : F(n) = 14 + 1,50 n
    • Vidéo Klub ne fait pas payer d'abonnement mais la location coûte 3,50 € :
      K(n) = 3,50 n
    • n = 5 → F(5) = 14 + 1,5 × 5 = 14 + 7,5 = 21,5
      K(5) = 3,5 × 5 = 17,5 (< F(5) = 21,5)
    • Marie devrait aller chez Vidéo Klub
    • n = 21 → F(21) = 14 + 1,5 × 21 = 14 + 31,5 = 45,5
      K(21) = 3,5 × 21 = 73,5 (> F(21) = 45,5)
    • Jacques doit aller chez Vidéo Futur
    • les deux vidéoclubs sont aussi intéressant l'un que l'autre pour : F(n) = K(n)
      14 + 1,50 n = 3,50 n
      14 = 2 n
      n = 7   (le prix est alors de 24,5)
  • 5) Un plombier dépense 33 € le premier mois car il a consommé 1 500 dm³ d'eau :
    • m₁ = 1,5   (car 1 500 dm³ = 1,5 m³)
    • Le mois suivant, il consomme 3 m³ d'eau : m₂ = 3
    • abonnement d'un montant de 15 € ⇒ prix p(n) = 15 + a m
    • p₁ = 33 = 15 + 1,5 a   ⇒   a = (33 − 15) / 1,5 = 18 / 1,5 = 12 (unité : €/m³)
      p₂ = 15 + 3 a = 15 + 36 = 51
    • le second mois, il payera 51 €

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