cours du 20/01/2016 : Proba. arbre     (répertoire)

• révision des probabilités : fiche Probabilités
• probabilités au bac, arbre : exercice 4 Liban 2015
  • L'échantillon est formé de 1 200 électeurs qui disent voter pour A ou pour B.
    Le second critère est que les électeurs disent la vérité ou mentent.
  • 1) arbre des proba. en commençant par A/B ; puis V/V :

    Echantillon	→→0,47→→	A	→→0,90→→	A ∩ V
    			→→0,10→→	A ∩ V
    	→→0,53→→	B	→→0,80→→	B ∩ V
    			→→0,20→→	B ∩ V

  • 2.a) P(V) = P(A ∩ V) + P(B ∩ V) = 0,47 × 0,90 + 0,53 × 0,80 = 0,847
    • probabilité totale de V = somme des probabilités élémentaires contenant V
    • on utilise : P(A ∩ V) = P(A) × P_A(V)
      on sélectionne d'abord les A (parmi toute la population) puis les V parmi les A.
  • 2.b) P_V(A) = P(A ∩ V) / P(V) = 0,47 × 0,90 / 0,847 = 0,49940968122786306 ≈ 0,499
    on utilise : P(A ∩ V) = P(V) × P_V(A)
  • 3) P(vote A) = P(A ∩ V) + P(B ∩ V) = 0,47 × 0,90 + 0,53 × 0,20 = 0,529
    probabilité totale de ceux qui votent pour A : les A qui disent la Vérité et les B qui mentent.
     
  • 4) L'échantillon de 1 200 tests de Bernoulli A ou B suit une loi binomiale que l'on peut approcher avec une loi normale.
    remarque : pour 1 personne : si P(vote A) = p, alors "vote A" suit une loi de Bernoulli B(p)
    remarque : pour n personnes : nombre de "vote A" suit une loi de binomiale B(n, p)
    remarque : moyenne des n personnes : (nombre de "vote A" / n) suit une loi normale N(p, σ) sous 3 conditions . . .
    • On ne connaît pas p de la population : on prend la valeur la plus défavorable : 0,5
    • l'écart-type de la moyenne de la loi binomiale est : σ² = p (1 − p) / n = 1 / (4 n) = 0,25 / 1 200 = 0,000208333
      σ = 1 / (2 √n) = √0,000208333 = 0,014433757 ≈ 0,014
    • les 3 critères n = 1 200 > 30   ;   n p = 1 200 × 0,529 > 5   ;   n (1 − p) = 1 200 × 0,471 > 5   sont satisfaits.
      car la proportion d'électeurs votant pour A est estimée à 0,529 (p_éch de l'échantillon).
        ⇒ la moyenne de l'échantillon (p_éch) suit une loi normale N(p, σ)
    • Pour une loi normale : 95 % des évènements sont dans l'intervalle [p − 1,96 σ ; p + 1,96 σ]
      p_éch ∈ [p − 1,96 σ ; p + 1,96 σ] qui équivaut à : p ∈ [p_éch − 1,96 σ ; p_éch + 1,96 σ]
      • p − 1,96 σ ≤ p_éch   ⇔   p ≤ p_éch + 1,96 σ
      • p_éch ≤ p + 1,96 σ   ⇔   p ≥ p_éch − 1,96 σ
      • soit : p_éch − 1,96 σ ≤ p ≤ p_éch + 1,96 σ
    • la moyenne de la population est dans l'intervalle [p_éch − 1,96 σ ; p_éch + 1,96 σ] avec une confiance de 95 %
      • on peut arrondir 1,96 à 2 : 0,529 − 2 × 0,014433757 = 0,5001324865405188 que l'on arrondit par défaut à 0,501
        l'intervalle de confiance à 95 % devient : [p_éch − 1/√n ; p_éch + 1/√n]
      • P(p ∈ [0,501 ; 0,557]) > 95 %   ;   la probabilité p ∈ [0 ; 0,5] (A est battu) est < 2,5 %
    • le candidat A peut être confiant en son élection.
    
    
  • 5) 10 (comm./demi-heure) × [ P(réponse) = 0,4 ] × 2 (demi-heures/heure) × h = 1 200
    • 10 communications ↔ 30 minutes
    • 40 % de réponses : 4 réponses ↔ 30 minutes
    • on souhaite 1 200 réponses : 1 200 réponses ↔ x minutes
      règle de trois : 4 x = 30 × 1 200     soit : x = (30 × 1 200 / 4) minutes
    • conversion en heures :
      • 1 heure = 60 minutes
      • 1/60 heure = 1 minute
        on remplace chaque minute par : (1/60) heure
    • x = (30 × 1 200 / 4) (1/60) heure = (30 × 1 200) / (4 × 60) = 1 200 / 8 = 150 heures
      • multiplication d'une fraction : (a/b) × c = (a c) / b   (on multiplie le numérateur)
      • division d'une fraction : (a/b) / c = a / (b c)   (on multiplie le dénominateur)
      • produit de 2 fractions : (a/b) × (c/d) = (a c) / (b d)
      • attention : somme de 2 fractions : (a/b) + (c/d) = (a d + c b) / (b d)   (mise au même dénominateur)
• probabilités au bac, arbre : exercice 1 Métropole 2015 Faire la partie 2
  • 0) arbre des proba. :

    Echantillon	→→0,75→→	vert	→→0,067→→	30
    			→→0,933→→	[0 ; 15]
    	→→0,25→→	rouge	→→0,015→→	30
    			→→0,010→→	100
    			→→0,975→→	[10 ; 20]

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