cours du 03/02/2016 : Suites     (répertoire)

• Pondichéry 2015 exercice 2 : Suites Arihtmético-géométrique : u_n+1 = q u_n + r
  • Corrigé
  • Limite possible L qui vérifie : L = q L + r   ⇒   L = r / (1 − q)     (q ≠ 1)
  • la suite v_n = u_n − L est une suite géométrique de raison q :
    v_n+1 = q v_n   ⇒   v_n = qⁿ v₀
    qui converge vers 0 si |q| < 1
    qui diverge (devient infinie) si |q| > 1
  • u_n = v_n + L   converge vers L : lim u_n = lim v_n + L = 0 + L = L
  • Cas particulier : q = 0,75 et r = 30 : La suite (u_n) converge   (|q| < 1)   vers L = 120
    • raisonnement par récurrence :
      • amorçage de la récurrence : (u_n) est croissante pour n = 0 (entre u₀ et u₁)
        en effet : u₁ − u₀ = 10 > 0
        remarque : u₀ = 80 < 120 : la suite est croissante entre u₀ et u₁
      • héritage de la récurrence : on suppose la suite croissante au rang n   ⇔   u_n+1 − u_n > 0
        • u_n+1 − u_n > 0
        • Signe du rang suivant : u_n+2 − u_n+1
          on remplace u_n+2 et u_n+1 par leurs définitions :
          u_n+2 − u_n+1 = 0,75 u_n+1 + 30 − (0,75 u_n + 30)
          u_n+2 − u_n+1 = 0,75 (u_n+1 − u_n)
          or u_n+1 − u_n > 0
          donc : u_n+2 − u_n+1 > 0
          ⇒   La suite est croissante au range n+1
      • conclusion : la suite (u_n) est croissante pour n ≥ 0
    • apprendre par coeur la méthode pour démontrer l'héritage du signe d'une suite Arithmético-Géométrique :
      u_n+2 − u_n+1 = (q u_n+1 + r) − (q u_n + r) = q (u_n+1 − u_n)
      qui fait disparaître les r
• probabilités au bac, arbre : exercice 1 Métropole 2015 Faire la partie 2
  • 0) arbre des proba. :

    Echantillon	→→0,75→→	vert	→→0,067→→	30
    			→→0,933→→	[0 ; 15]
    	→→0,25→→	rouge	→→0,015→→	30
    			→→0,010→→	100
    			→→0,975→→	[10 ; 20]

  • 1) parmi les rouges : p_rouge(X≥30) = p_rouge(X=30) + p_rouge(X=100) = 0,015 + 0,010 = 0,025
  • 2) P(X ≥ 30) = P(vert ∩ X=30) + P(rouge ∩ X=30) + P(rouge ∩ X=100) = 0,75 × 0,067 + 0,25 × (0,015 + 0,010) = 0,0565 ≈ 0,057
    (probabilité totale)
  • 3) échantillon : p_éch = 6 / 200 = 0,03
    réviser : 1ère S Echantillonnages
    • loi de Bernoulli : P(X ≥ 30) = p   et   P(X < 30) = 1 − p
      σ = √p (1 − p)
    • échantillon de 200 tirages de Bernoulli : Loi binomiale E(p_éch) = p
      σ_moy = √p (1 − p) / n
    • Assimilé à une loi Normale : (n = 200 > 30 ; n p = 200 × 0,057 = 11,4 > 5 ; n (1 − p) > 5)
      P(p_éch ∈ [p − 1,96 σ_moy ; p + 1,96 σ_moy]) = 0,95
      σ_moy = √0,0565 (1 − 0,0565) / 200 = 0,016326 ≈ 0,0164   (arrondi par excès)
      intervalle de confiance à 95 % : [ 0,057 − 1,96 × 0,0164 ; 0,057 + 1,96 × 0,0164 ] = [ 0,025 ; 0,089 ]
      Or p_éch = 0,03 est en dehors de l'intervalle :
      on ne peut pas dire que les bons ne sont pas répartis au hasard avec une confiance de 95 %
      les doutes du directeur ne sont pas justifiés.
  • faire la partie B du Bac 2015 Rochambeau

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