cours du 17/02/2016 : Suites     (répertoire)

• Devoirs communs du lycée Jacques Prévert de St Christol les Alès :
  Sujet du Devoir commun 1er trimestre 2014-2015
• 1.a) forme canonique de f(x) = a x² + a x − 6 a = a (x² + x) − 6 a
  • x² + x est le début du développement du carré : (x + 1/2)²
    (x + 1/2)² = x² + x + 1/4
    en remplaçant dans l'expression : a x² + a x − 6 a = a ((x + 1/2)² − 1/4) − 6 a
    a x² + a x − 6 a = a (x + 1/2)² − a/4 − 6 a = a (x + 1/2)² − a/4 − 24 a/4 = a (x + 1/2)² − 25 a/4
  • On peut aussi savoir par coeur que la forme canonique du trinôme a x² + b x + c est :
    a x² + b x + c = a (x + b/(2a))² − Δ/(4a)   avec Δ = b² − 4 a c
    on remplace a par a ; b par a ; c par − 6 a
    Δ = a² − 4 a (−6a) = 25 a²
    d'où : a x² + a x − 6 a = a (x + 1/2)² − 25 a/4
• 1.b) signe du trinôme selon a :
  • Δ = 25 a² > 0 donc il y a toujours 2 racines (distinctes). Soient x₁ < x₂
  • Remarque : les racines ne dépendent pas de a : a x² + a x − 6 a = 0
    est équivalent à : x² + x − 6 = 0     (on a divisé chaque membre par a)
  • Δ = 1 + 24 = 25 = 5²
    x₁ = (−1 − 5) / 2 = −3
    x₂ = (−1 + 5) / 2 = 2
    tableau de signe :

    x	−∞		−3		2		∞	commentaire
    cas a > 0 a x2 + a x − 6 a	+		0	−	0	+		parabole ∪ orientée vers le haut
    cas a < 0 a x2 + a x − 6 a	−		0	+	0	−		parabole ∩ orientée vers le bas

• 1.c) sens de variation de : f(x) = a x² + a x − 6 a
  • la variation d'une fonction dépend du signe de sa dérivée :
  • dérivée f '(x) = 2 a x + a
    la dérivée s'annule pour : 2 a x + a = 0 soit x = − a / (2 a) = − 1/2
  • tableau de variation :

    x	−∞		−1/2		∞
    signe de f '(x)	−		0	+
    variation de f(x)	décroissante		min	croissante

    La fonction f(x) est donc strictement croissante sur ] −0,5 ; ∞ [
• 2.1) droite AB : coefficient directeur : a = (y_B − y_A) / (x_B − x_A)
  • a = (2 − (−4)) / (5 − 1) = 6/4 = 3/2 = 1,5
  • la droite (AB) a pour coefficient directeur 1, 5 comme la droite (Δ) elles sont donc parallèles. VRAI
• 2.2) − x² + x − 1 > 0
  • du signe de a (−1) à l'extérieur des racines
  • Δ = b² − 4 a c = 1 − 4 (−1) (−1) = 1 − 4 = − 3 < 0
  • − x² + x − 1 < 0 ∀ x
  • − x² + x − 1 > 0 n'a aucune solution réelle VRAI
    − x² + x − 1 = − (x − 1/2)² + 1/4 − 1 < −3/4 < 0
• 2.3) f(x) = x² + 5 x − 4 et g(x) = − 2 x + 2
  • h(x) = f(x) − g(x) = x² + 5 x − 4 − (− 2 x + 2) = x² + 5 x − 4 + 2 x − 2 = x² + 7 x − 6
  • signe de h(x) : Δ = b² − 4 a c = 49 − 4 (− 6) = 73 > 0
  • racines : x₁ = (−b − √Δ) / (2 a) = (−7 − √73) / 2 ≈ −7,772
    x₂ = (−b + √Δ) / (2 a) = (−7 + √73) / 2 ≈ 0,772

    x	−∞		x1		x2		∞
    h(x)	+		0	−	0	+

    L'intervalle [1 ; 2] est inclus dans l'intervalle ] x₂ ; ∞ [ ≈ ] 0,772 ; ∞ [
    Dcon la fonction h(x) est positive sur [1 ; 2] ⇔ f(x) est au-dessus de g(x) sur [1 ; 2]
• Exercice 4 : ABCD est un rectangle ; I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AD]
  • 4.1) A (0 ; 0) ; B (1 ; 0) ; D (0 ; 1) ; C (1 ; 1)
  • 4.2) équation cartésienne de (DI) si D et I vérifient l'équation :
    D (0 ; 1) : 2 x + y = 2 × 0 + 1 = 1 : Les coordonnées de D vérifient l'équation 2 x + y = 1
    I (1/2 ; 0) : 2 x + y = 2 × 1/2 + 0 = 1 : Les coordonnées de I vérifient l'équation 2 x + y = 1
    comme les 2 points D et I vérifient l'équation de droite 2 x + y = 1, c'est bien l'équation de (DI)
  • 4.3) équation de (BJ) : a x + b y + c = 0
    B (1 ; 0) vérifie l'équation : a + c = 0 ⇒ a = − c
    J (0 ; 1/2) vérifie l'équation : (1/2) b + c = 0 ⇒ b = − 2 c
    l'équation de (BJ) est : − c x − 2 c y + c = 0
    on peut choisir librement c ≠ 0 : on prend − 1 pour avoir l'équation la plus simple possible :
    x + 2 y − 1 = 0 ou : x + 2 y = 1
    remarque : on peu dire que pour obtenir (BJ) à partir de (DI), il suffit d'échanger les coordonnées
  • 4.4) coordonnées de K = (JB) ∩ (DI)
    • K vérifie les équations des 2 droites :
      2 x + y = 1
      x + 2 y = 1
    • méthode de combinaison : élimination de y
      2 x + y = 1 | × −2
      x + 2 y = 1 | × 1
    • on obtient
      −4 x − 2 y = − 2
      x + 2 y = 1
    • en effectuant la somme :
      −3 x = −1
    • x = −1 / (−3) = 1/3
    • de l'équation 1 on déduit y = 1 − 2 x = 1 − 2/3 = (3 − 2) / 3 = 1/3
    • K (1/3 ; 1/3)
  • 4.5) les points A K et C sont-ils alignés ?
    vecteur(AC) = (1 ; 1)
    vecteur(AK) = (1/2 ; 1/3) = (1/3) vecteur(AC)
    donc K ∈ (AC) : les 3 points A, K et C sont alignés
  • 4.6) vecteur(AK) = (1/3) vecteur(AC) = (1/3) [ 2 vecteur(AO) ] = (2/3) vecteur(AO)
    car O est le milieu de [AC] (les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu)
  • 4.7) Il faut afficher l'équation cartésienne de la parallèle à (IJ) passant par (a ; b)
    équation de (IJ) : I ∈ (IJ) : a × (1/2) + b × 0 = c ⇒ a = 2 c
    J ∈ (IJ) : a × 0 + b × (1/2) = c ⇒ b = 2 c
    équation de (IJ) : 2 c x + 2 c y = c soit : 2 x + 2 y = 1   (ou x + y = 1/2)
    une équation de droite parallèle à (IJ) est : x + y = c
    (a ; b) ∈ la droite parallèle : a + b = c
    Dans l'algorithme : c prend la valeur a + b
    Afficher "une équation est x + y = ", Afficher c
• exercice 5 :
  • choix du repère : A (0 ; 0) et B (13 ; 0) puis C (x ; y)
    Mais cela conduit à des calculs trop compliqués
  • raisonnement sur les longueurs des segments : AC + CB = 20 ⇒ CB = 20 − AC
  • Pythagore : AB² = AC² + BC²
    13² = AC² + (20 − AC)²
    169 = AC² + 400 − 40 AC + AC²
    2 AC² − 40 AC + 231 = 0
  • Δ = 1600 − 4 × 2 × 231 = −248 < 0 : il n'y a pas de solution.
  • Bonus : si l'on met C à la verticale de A ou B, le triangle est rectangle en A ou B :
    Pythagore donne : (20 − AC)² = AC² + 13²
    400 − 40 AC + AC² = AC² + 169
    − 40 AC = − 231
    AC = 231 / 40

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