cours du 25/02/2016 : Proba.     (répertoire)

• (a + b) / b = (a/b) + (b/b = (a/b) + 1
  C'est la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :
  (a + b) / b = (1/b) × (a + b) = (1/b) × a + (1/b) × b
• Par contre : a × b / b = a × b × (1/b) = a × 1 = a
• Loi de probabilité (discrète) de l'évènement X : probabilité = P(X)
  • P(X) est une fonction :   X = a   →   P(X = a)
  • représentation par un tableau :

    X	−1	0	1	valeurs possibles de X
    P(X)	1/6	2/6 = 1/3	3/6 = 1/2	somme des proba. = 1

  • représentation graphique : ensemble des points (a, P(a)) ou bâtons.
    • Les valeurs possibles de X sont représentées sur l'axe Ox
    • Les valeurs de P(X) sont représentées sur l'axe Oy : remarque : 0 ≤ P(X = a) ≤ 1
  • représentation en camembert.
• Cours sur la représentation des proba.
  • représentation ensembliste : Diagramme de Ven
    • 100 lecteurs de Romans, Revues, BD
    • On interroge 100 lecteurs : 5 lisent les 3 ; 25 lisent des romans et des revues ; 27 lisent des BD et des romans ; 9 lisent des revues et des BD
      9 lisent des romans exclusivement ; 70 lisent des BD ou des romans.
    • 1) Re ∪ Ro ? BD ? Ro ∩ BD ?
    • 2) réaliser un diagramme de Venn.
    • 3) Calculer la probabilité de ces évènements.
  • Tableau à double entrée (P=Portugais et E=Espagnol)
  • Arbre : dans un jeu de 32 cartes, il n'y a pas 8 têtes (ou figures) mais 12 : (Roi, Dame, Valet) × (pic, coeur, carreau, trèfle)
• des contrôles communs de 1ère S
• 1.a) forme canonique de f(x) = a x² + b x + c = a [x² + (b/a) x + c/a]
  • Exemple : x² + x est le début du développement du carré : (x + 1/2)²
    S'il y a un signe + devant le terme en x du trinôme, il y a forcément un signe + à l'intérieur du terme au carré
    (x + 1/2)² = x² + x + 1/4
    en remplaçant dans l'expression : a x² + a x − 6 a = a ((x + 1/2)² − 1/4) − 6 a
    a x² + a x − 6 a = a (x + 1/2)² − a/4 − 6 a = a (x + 1/2)² − a/4 − 24 a/4 = a (x + 1/2)² − 25 a/4
  • x² + (b/a) x = est le début du développement du carré : (x + b/(2a))²
    pour annuler le 2 du double produit, il faut diviser (b/a) par 2.
    Mais dans (x + b/(2a))², il y a b²/(4 a²) en trop qu'il faut retirer.
    Donc les 2 premiers termes : x² + (b/a) x = (x + b/(2a))² − b²/(4 a²)
  • On peut aussi savoir par coeur que la forme canonique du trinôme a x² + b x + c est :
    a x² + b x + c = a (x + b/(2a))² − Δ/(4a)   avec Δ = b² − 4 a c
    on remplace a par a ; b par a ; c par − 6 a
    Δ = a² − 4 a (−6a) = 25 a²
    d'où : a x² + a x − 6 a = a (x + 1/2)² − 25 a/4
• 1.b) signe du trinôme selon :
  • signe de a à l'extérieur des racines.
    Vrai quand les racines sont confondues
    Vrai quand il n'y a pas de racine : tous les x sont à l'extérieur des racines
• 4.7) Il faut afficher l'équation cartésienne de la parallèle à (IJ) passant par (a ; b)
  • équation de (IJ) :
    I ∈ (IJ) : a × (1/2) + b × 0 = c ⇒ a = 2 c
    J ∈ (IJ) : a × 0 + b × (1/2) = c ⇒ b = 2 c
  • équation de (IJ) : 2 c x + 2 c y = c soit : 2 x + 2 y = 1   (ou x + y = 1/2)
  • une équation de droite parallèle à (IJ) est : x + y = c   (On change le terme constant).
  • (a ; b) ∈ la droite parallèle : a + b = c
  • Dans l'algorithme :
    c prend la valeur a + b
    Afficher "une équation est x + y = ", Afficher c
• exercice 5 :
  • (−40)² = +1600   →   ne pas oublier les parenthèses
  • Bonus : si l'on met C à la verticale de A ou B, le triangle est rectangle en A ou B :
    Pythagore donne : (20 − AC)² = AC² + 13²
    400 − 40 AC + AC² = AC² + 169
    − 40 AC = − 231
    AC = 231 / 40

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