cours du 23/03/2016 : Suites     (répertoire)

• 2 suites à connaître (outils du mathématicien)
  • Suite arithmétique
    • formule de récurrence : u_n+1 = u_n + r     (u₀ étant donné)
    • formule explicite : u_n = u₀ + n r
      u_n = u_k + (n − k) r
  • Suite géométrique
    • formule de récurrence : u_n+1 = q u_n     (u₀ étant donné)
    • formule explicite : u_n = u₀ qⁿ
      u_n = u_k q^{n − k}
• Suite arithmético-géométrique :
  • formule de récurrence : u_n+1 = q u_n + r     (u₀ étant donné)
  • Problème : trouver la forme explicite de (u_n)
    il y a 4 étapes :
    • 1) Trouver la limite possible de (u_n) : L = q L + r
      L = r / (1 − q)
    • 2) Démontrer que la suite auxiliaire (v_n) définie par : v_n = u_n − L est géométrique
      v_n+1 = u_n+1 − L
      v_n+1 = q u_n + r − L
      v_n+1 = q (v_n + L) + r − L = q v_n + q L + r − L
      v_n+1 = q v_n + r + (q − 1) L = q v_n + r + (q − 1) r / (1 − q)
      v_n+1 = q v_n + r − r = q v_n
    • 3) En déduire la forme explicite de (v_n) : v_n = v₀ qⁿ
    • 4) En déduire la forme explicite de (u_n) : u_n = v₀ qⁿ + L = (u₀ − L) qⁿ + L     avec : L = r / (1 − q)
      u_n = (u₀ − r / (1 − q)) qⁿ + r / (1 − q)
      Si |q| < 1,   alors qⁿ → 0   et   u_n → L
  • Application au remboursement d'un emprunt :
    • année 0 : on emprunte C₀ = 100 000 €
      la banque prend des intérêts de 5% par an
      on rembourse 12 000 € à la fin de chaque année
      écrire la formule de récurrence du calcul du capital restant à rembouser : C₁ = C₀ + 0,05 C₀ − 12 000
      C_n+1 = 1,05 C_n − 12 000   (c'est une suite arithmético-géométrique)
    • Limite possible : L = 1,05 L − 12 000
      −0,05 L = − 12 000   ⇒   L = 240 000
    • suite auxiliaire : v_n = C_n − 240 000
      donc : C_n = v_n + 240 000
    • v_n+1 = C_n+1 − 240 000
      v_n+1 = 1,05 C_n − 12 000 − 240 000 = 1,05 C_n − 252 000
      v_n+1 = 1,05 (v_n + 240 000) − 252 000 = 1,05 v_n + 252 000 − 252 000 = 1,05 v_n
    • v_n = v₀ qⁿ = (C₀ − 240 000) 1,05ⁿ = −140 000 × 1,05ⁿ   (suite géométrique)
    • u_n = v_n + L = −140 000 × 1,05ⁿ + 240 000
    • forme explicite de (u_n) : u_n = −140 000 × 1,05ⁿ + 240 000
      c'est une suite divergente (q = 1,05 > 1)
    • Quand l'emprunt sera-t-il remboursé ? quand C_n ≤ 0
      C₀ = 100 000 €
      C₁ = 93 000 €
      C₂ = 85 650 €
      C₃ = 77 932 €
      . . .
      C₁₁ = 552 €
      C₁₂ = − 11 420 €
      Le remboursement sera terminé au cours (vers le début) de la 12^ème année.
• Suite : u_n+1 = (u_n + a / u_n) / 2
  • limite possible : L = (L + a / L) / 2
    2 L = L + a / L
    L = a / L
    L² = a
    L = ± √a

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