cours du 23/03/2016 : Suites     (répertoire)

• analyse graphique des suites : Suite récurrente (graphique)
  Il y a les corrections à chaque question : très bien expliquées
• Exercices corrigés sur les suites xymaths.free.fr/Lycee Faire l'exercice 8
  • démontrer le sens de variation d'une suite : u_n+1 = f(u_n) (par récurrence) :
    • amorçage : u₁ < u₂ (suite croissante par exemple)
    • héritage : admettons que u_n < u_n+1
      si la fonction est croissante (à démontrer) :
      u_n < u_n+1   ⇒   f(u_n) < f(u_n+1)
      Soit : u_n+1 < u_n+2
    • conclusion : (u_n) est croissante à partir de n ≥ 1
    • remarque : si f(x) est croissante, les images conservent l'ordre des antécédents
      ce qui permet de démontrer qu'une suite est croissante ou décroissante.
• somme de suites arithmétiques : S_n = ∑ u₀ + k r   pour k ∈ [[0 ; n]]
  • site freescience.fr : suites arithmétiques
  • S_n = u₀ + u₁ + . . . + u_n
  • S_n = (n+1) (u₀ + u_n) / 2
    moyenne des termes : (premier + dernier) / 2
    nombre de termes : n − 0 + 1   (il y aurait n termes si l'on partait de 1)
    S_n = nombre de termes × moyenne des termes
  • S_n = u_k + u_k+1 + . . . + u_n
    moyenne des termes : (premier + dernier) / 2 = (u_k + u_n) / 2
    nombre de termes : n − k + 1
    S_n = nombre de termes × moyenne des termes = (n − k + 1) (u_k + u_n) / 2
• somme de suites géométriques : S_n = ∑ u₀ q^k   pour k ∈ [[0 ; n]]
  • site freescience.fr : suites géométriques
  • S_n = ∑ u₀ q^k = u₀ (qⁿ⁺¹ − 1) / (q − 1)
  • S_n = u₀ + u₁ + . . . + u_n
    q S_n = u₁ + u₂ + . . . + u_n+1
    q S_n − S_n = u_n+1 − u₀
    S_n = premier terme × (q^{nombre de termes} − 1) / (q − 1)
    S_n = (q u_n − u₀) / (q − 1) = (u_n+1 − u₀) / (q − 1) = u₀ (qⁿ⁺¹ − 1) / (q − 1)
    numérateur : (q × dernier terme) − premier terme = premier terme × (q^{nombre de termes} − 1)
    dénominateur : q − 1
    nombre de termes : n + 1
  • S_n = u_k + u_k+1 + . . . + u_n
    numérateur : (q × dernier terme) − premier terme = q u_n − u_k
    dénominateur : q − 1
    nombre de termes : n − k + 1
    S_n = (q u_n − u_k) / (q − 1) = (u_n+1 − u_k) / (q − 1) = u_k (q^n−k+1 − 1) / (q − 1)

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