cours du 07/04/2016 : trigonométrie     (répertoire)

• devoir math-web trigo
• Les angles sont définis modulo 2π
  un angle de 0 vaut également : . . . , −4π , −2π , 0 , 2π , 4π , . . . (une infinité de valeurs)
• mesure principale des angles : valeurs appartenant à l'intervalle ] −π ; π ]
  (définition unique pour que tout le monde ait le même résultat)
  Remarque : −π = π [2π] , c'est pourquoi on exclut −π et on garde π
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• cercle trigo : sur le cercle trigo on commence par 0 = 2π [2π] (axe Ox),
  • puis on tourne de 30° = π/6
    on a ensuite 45° = π/4,
    puis 60° = π/3 (symétrique de π/6 par rapport à π/4 : ils échangent leurs sinus et cosinus)
    enfin 90° = π/2 (axe Oy)
  • ensuite, on symétrise les angles par rapport à Oy : ils auront les mêmes sinus, mais des cosinus opposés.
    après π/2 : on trouve 120° = 2π/3 (symétrique de π/3 par rapport à Oy : donc même sinus = √3/2)
    ensuite 145° = 3π/4 (symétrique de π/4 par rapport à Oy : donc même sinus = √2/2)
    ensuite 160° = 5π/6 (symétrique de π/6 par rapport à Oy : donc même sinus = 1/2)
  • ensuite on symétrise tous les angles par rapport à Ox : ils auront les mêmes cosinus, mais des sinus opposés.
• Exercice 1 : Déterminer la mesure principale des angles
  on ajoute ou on retire 2π jusqu'à ce que l'angle ∈ ] −π ; π ]
  • −11π/3 → −11π/3 + 6π/3   = −5π/3 (< −π = −3π/3) → −5π/3 + 6π/3   = π/3
    remarque : 2π = 6π/3   donc on ajoute 6π/3 jusqu'à arriver dans ] −π ; π ]
  • 33π/4 → 33π/4 − 4 × (8π/4) = π/4
    remarque : 2π = 8π/4   donc on retire 8π/4 jusqu'à arriver dans ] −π ; π ]
  • −17π/6 → −17π/6 + 12π/6 = −5π/6
    remarque : 2π = 12π/6   donc on retire 12π/6 jusqu'à arriver dans ] −π ; π ]
  • −75π/8 → −75π/8 + 4 × 16π/8 = −11π/8 (< −π)
    il faut continuer : −75π/8 + 5 × 16π/8 = 5π/8
    remarque : 2π = 16π/8   donc on retire 16π/8 jusqu'à arriver dans ] −π ; π ]
• Exercice 2 : exprimer en fonction de cos(x) et sin(x) :
  • 1) A = cos(x −π) − sin(π − x) + cos(π + x) − sin(−x)
    On dessine un cercle trigo avec un angle x un peu plus petit que 30° (afin de bien distinguer le cos(x) >> sin(x))
    x − π quand on retire π à x, on se retrouve de l'autre côté de O, au-dessous de l'axe Ox avec −cos(x)
    quand on fait π − x, on obtient le symétrique de x par rapport à Oy : avec le même sin(x)
    π + x = −π + x [2π] dont le cosinus vaut : −cos(x)
    l'angle −x est symétrique de x par rapport à l'axe Ox : il a le sinus opposé à sin(x)
    en remplaçant dans l'expression : A = −cos(x) − sin(x) + (−cos(x)) − (−sin(x))
    A = −cos(x) − sin(x) − cos(x) + sin(x) = −2 cos(x)
  • 2) B = sin(x) + cos(x + π/2) + cos(x) − sin(x + π/2)
    d'après le cercle trigo : cos(x + π/2) = −sin(x)
    sin(x + π/2) = cos(x)
    en remplaçant dans B : B = sin(x) + (−sin(x)) + cos(x) − cos(x)
    B = sin(x) − sin(x) + cos(x) − cos(x) = 0
  • 3) C = sin(3π/8) + sin(5π/8) + sin(11π/8) + sin(13π/8)
    11π/8 = π + 3π/8   ⇒   sin(11π/8) = − sin(3π/8)
    13π/8 = π + 5π/8   ⇒   sin(13π/8) = − sin(5π/8)
    en remplaçant : C = sin(3π/8) + sin(5π/8) − sin(3π/8) − sin(5π/8) = 0
  • 4) D = cos(π/10) + cos(2π/5) + cos(3π/5) + cos(9π/10)
    remarque : π = 10π/10 = 5π/5
    9π/10 = π − π/10   ⇒   cos(9π/10) = − cos(π/10)
    de même : 3π/5 = π − 2π/5   ⇒   cos(3π/5) = − cos(2π/5)
    en remplaçant : D = cos(π/10) + cos(2π/5) − cos(2π/5) − cos(π/10) = 0
• Exercice 3 : résoudre les équations et inéquations :
  • 1) sur [ 0 ; 3π [ : cos(x) = 1/2
    sur le cercle trigo. on voit les 2 solutions π/3 et −π/3
    quand on part de 0, en tournant dans le sens trigo., on passe par π/3
    on continue, avant de finir le premier tour (2π), on passe par −π/3 + 2π = 5π/3
    on continue sur un demi-tour : on passe par π/3 + 2π = 7π/3
    solutions dans [ 0 ; 3π [ : S = { π/3 ; 5π/3 ; 7π/3 }
  • 2) sur ]−π ; π ] : sin(x) = −√2/2
    on regarde sur le cercle trigo. on trouve : 3π/4 et −3π/4 (qui sont des mesures principales)
    vérification : on part de −π (= −4π/4), on rencontre 3π/4
    on passe par 0 on continue et on rencontre 3π/4 avant de nous arrêter à π (= 4π/4)
    solutions sur ]−π ; π ] : S = {−3π/4 ; 3π/4}
  • 3) sur [0 ; 4π[ : cos(x) = cos(2π/3)
    sur le cercle trigo. : 2π/3 (= 120°) a pour cosinus : −1/2
    cos(x) = −1/2 pour les 2 angles : 2π/3 et −2π/3
    on part de 0 : on rencontre 2π/3, puis −2π/3 + 2π = 4π/3 avant d'arriver à 2π
    deuxième tour : on rencontre 2π/3 + 2π = 8π/3, puis −2π/3 + 4π = 10π/3 avant d'arriver à 4π
    S = { 2π/3 ; 4π/3 ; 8π/3 ; 10π/3 }
  • 4) sur [0 ; 2π[ : cos²(x) = 3/4
    ⇔   cos(x) = ±√3/2
    cos(x) = √3/2 : x a 2 mesures principales possibles : ±π/6
    cos(x) = −√3/2 : x a 2 mesures principales possibles : ±5π/6
    on part de 0, on rencontre π/6, puis 5π/6, ensuite −5π/6 + 2π, puis −π/6 + 2π
    S = { π/6 ; 5π/6 ; 7π/6 ; 11π/6 }
  • 5) sur ]−π ; π] : 6 − 12 cos(x) > 0
    ⇔   6 > 12 cos(x)   ⇔   1/2 > cos(x)   soit :   cos(x) < 1/2
    cos(x) = 1/2 correspond aux 2 angles ±π/3
    on part de −π : cos(−π) = −1 < 1/2 on est dans la solution,
    on continue jusqu'à rencontrer −π/3 où l'on sort de la solution,
    on continue jusqu'à rencontrer π/3 où l'on entre de nouveau dans la solution,
    jusquà π où nous sommes toujours dans la solution.
    S = ]−π ; −π/3 [ ∪ ]π/3 ; π]
  • 6) sur ]−π ; 2π] : sin(x) ≤ √3/2
    sin(x) = √3/2 correspond aux angles π/3 et 2π/3 du cercle trigo.
    on part de −π : sin(−π) = 0 (≤ √3/2) et on tourne
    jusqu'à π/3 où sinus dépasse √3/2 (on sort de la solution)
    on arrive à 2π/3 : on entre dans la solution, jusqu'à 2π où on reste dans la solution.
    S = ]−π ; π/3] ∪ [2π/3 ; 2π]
  • 7) sur ]−π ; π] : 2 sin²(x) − sin(x) − 1 = 0
    on fait le changement de variable X = sin(x) : 2 X² − X − 1 = 0
    solution évidente : X₁ = 1   produit des racines : X₁ X₂ = c/a = −1/2
    S = {−1/2 ; 1}
    sinon : Δ = b² − 4 a c = 1 + 8 = 9
    X₁ = (−b − √Δ) / (2 a) = (1 − 3) / 4 = −1/2
    X₂ = (−b + √Δ) / (2 a) = (1 + 3) / 4 = 1
    il reste à résoudre : sin(x) = −1/2 ∪ sin(x) = 1
    2 solutions de sin(x) = −1/2 : d'après le cercle trigo. : −π/6 et −5π/6
    1 solution pour sin(x) = 1 : x = π/2
    ensemble des solutions dans ]−π ; π] : S = {−5π/6 ; −π/6 ; π/2}
  • 8) sur ]−π ; π] : sin(2x) = sin(π/4)
    d'après le cercle trigo : sin(π/4) = √2 / 2   (pas vraiment utile de trouver la valeur, mais cela donne une idée)
    angles avec le même sinus : π/4 et 3π/4 donc : 2x = π/4 et 3π/4 [2π]
    premières solutions : 2x = π/4 + 2 k π   ⇒   x = π/8 + k π
    2 valeurs dans ]−π ; π] : (π/8 − π) et π/8
    deuxièmes solutions : 2x = 3π/4 + 2 k π   ⇒   x = 3π/8 + k π
    2 valeurs dans ]−π ; π] : (3π/8 − π) et 3π/8
    S = {−7π/8 ; −5π/8 ; π/8 ; 3π/8}
• exercice 4 :
  • A.1) f(1) = 1   (coordonnées du point A) ; f '(1) = −1 (coef. directeur de la tangente)
  • A.2) f(x)= x + a + b/x   ⇒   f '(x) = 1 − b / x²
  • A.3) A ∈ C_f : 1 = 1 + a + b/1   soit ; a + b = 0
    tangente en A : −1 = 1 − b / 1   soit : b = 2   donc a = −2
  • B.1) variation de f :
    signe de f '(x) = 1 − 2 / x² = (x² − 2) / x²
    f '(x) = 0 pour : x² − 2 = 0   soit : x = ± √2
    f '(x) = (x − √2) (x + √2) / x²

    x	0		√2		∞
    (x − √2)	−		0	+
    (x + √2)	+		+	+
    x2	0	+	+	+
    f '(x)	||	−	0	+
    f(x)	||	décroissante	ymin	croissante	∞

    avec y_min = f(√2) = 2 √2 − 2
    valeur approchée : y_min ≈ 0,8284271247461903 ≈ 0,83
  • B.2) tangente au point x=2 : y = f '(2) (x − 2) + f(2)
    f(2) = 2 − 2 + 2/2 = 1
    f '(2) = 1 − 2/4 = 1/2
    y = 1/2 (x − 2) + 1 = x / 2 − 1 + 1
    d₁ a pour équation y = x / 2
  • B.3) tracer f : elle descent de (0;∞) jusqu'à (1;1) puis (2;1) et tend vers l'asymptote y = x − 2
    sa courbure : f ''(x) = 4 / x³ > 0 sur ]0 ; ∞[
  • C) compréhension de l'énoncé (phrase partiellement compréhensible) :
    • d'après la courbe, quand l'entreprise fabrique x=1 millier de jouets, un jouet lui coûte 1 € en moyenne.
      le coût de production de x milliers de jouets = 1000 x × f(x)
    • f(x) minimum pour f '(x) = 1 − 2 / x² = 0
      x² = 2   soit ; x = ± √2 ; mais on ne garde que la racine > 0
      f(x) minimum pour x = √2 ≈ 1,414 donc pour 1 414 jouets produits par jour.
    • bénéfice = recette − coût = 1 414 × 2 − 1 414 × f(√2)
      f(√2) = 2 √2 − 2 ≈ 0,8284271247461903
      bénéfice = 1 414 (2 − 0,8284271247461903) = 1656.604045608887 ≈ 1 657 €
      Attention : il ne faut pas utiliser le résultat 0,83 de B.1 mais la valeur brute pour obtenir une réponse précise à l'euro.
• autres exercices trigo.

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