cours du 20/04/2016 : trigonométrie et suites     (répertoire)

• position d'un point qui se déplace à une vitesse constante v (depuis t₀ = 0)
  • déplacement d'un point en ligne droite : x(t) = x₀ + v t
    • Calcul de la vitesse : v = Δx / Δt
  • déplacement d'un point sur un cercle : α(t) = α₀ + ω t
    • la position de départ x₀ est remplacée par l'angle de départ α₀
    • la vitesse v est remplacée par la vitesse de rotation : ω = Δα / Δt
• premier point : 1 tour dans le sens rétrograde (sens horaire) = −2 π en 8 secondes
  ω₁ = Δα / Δt = −2 π / 8 = −π/4
  α₁(t) = α₀ + ω₁ t = π/2 − (π/4) t + k₁ 2 π
• deuxième point : 1 tour dans le sens direct = 2 π en 6 secondes
  ω₂ = Δα / Δt = 2 π / 6 = π/3
  α₂(t) = α₀ + ω₂ t = π/2 + (π/3) t + k₂ 2 π
• croisement : α₁(t) = α₂(t) [2π]
  remarque : c'est seulement ici qu'il faudrait mettre + 2 k π plutôt que sur les angles α(t)
  π/2 − (π/4) t + k₁ 2 π = π/2 + (π/3) t + k₂ 2 π
  [− (π/4) − (π/3)] t = (k₂ − k₁) 2 π
  (−7 π / 12) t = (k₂ − k₁) 2 π
  t = −12/(7 π) (k₂ − k₁) 2 π = (24/7) (k₁ − k₂)
  k₁ − k₂ est un nombre entier relatif n
  t_n = 24 n / 7
• suite : u₀ = 1
  • définition de (v_n) n = 0 : v₀ = 4 u₀ − 6 × 0 + 15 = 4 + 15 = 19
  • définition de (u_n) n = 0 : u₁ = (1/3) u₀ + 0 − 1 = −2/3
  • définition de (v_n) n = 1 : v₁ = 4 u₁ − 6 × 1 + 15 = −8/3 + 9 = 19/3
  • si (v_n) est géométrique : q = v₁ / v₀ = 19/3 × 1/19 = 1/3
• démontrer que (v_n) est géométrique : si on trouve q tel que v_n+1 = q v_n
  • q ne peut être que (1/3) d'après les 2 premiers termes de la suite (v_n)
    nous allons calculer q v_n = (1/3) v_n et le comparer à v_n+1
  • définition de v_n+1 = 4 u_n+1 − 6 × (n+1) + 15 = 4 u_n+1 − 6 n − 6 + 15 = 4 u_n+1 − 6 n + 9
  • définition de u_n+1 :
    v_n+1 = 4 [(1/3) u_n + n − 1] − 6 n + 9 = (4/3) u_n + 4 n − 4 − 6 n + 9 = (4/3) u_n − 2 n + 5
  • q v_n = (1/3) v_n = (4/3) u_n − 2 n + 5 = v_n+1
  • (v_n) est géométrique de raison q = 1/3 et de premier terme v₀ = 19
    v_n = v₀ qⁿ = 19 / 3ⁿ
  • d'où, en appliquant la définition de (v_n) : u_n = (v_n + 6 n − 15) / 4
    u_n = (19 / 3ⁿ + 6 n − 15) / 4
• somme de (u_n) : (u_n) est composée de 3 termes :
  • 19/(4 × 3ⁿ) : géométrique (19/4) (1/3ⁿ)
    rappel : ∑₀ⁿ q^k = (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)
  • 3 n / 2 : arithmétique (3/2) n
    rappel : ∑₀ⁿ k = (0 + n)/2 × (n+1) = n (n+1) / 2
  • −15/4 : constant
    rappel : ∑₀ⁿ a = (n+1) a
• Trouver la suite géométrique associée à la suite générale : u_n+1 = a u_n + b n + c
  • on suppose que v_n = α u_n + β n + γ
  • v_n+1 = α u_n+1 + β (n+1) + γ = α (a u_n + b n + c) + β (n+1) + γ
    v_n+1 = α a u_n + α b n + α c + β (n+1) + γ = α a u_n + (α b + β) n + α c + β + γ
  • on veut : v_n+1 = q v_n = q α u_n + q β n + q γ
  • système d'équations :
    • α a = q α ⇒ q = a
    • α b + β = q β = a β ⇒ β = α b / (a − 1)
    • α c + β + γ = q γ = a γ ⇒ γ = (α c + β) / (a − 1)
      γ = [α c + α b / (a − 1)] / (a − 1)
      γ = α [ c / (a − 1) + b / (a − 1)² ]
    • il reste un degré de liberté : par exemple pour α
      • pour éliminer les dénominateurs : α = (a − 1)²
      • ⇒ β = b (a − 1)
      • ⇒ γ = c (a − 1) + b
  • vérification sur l'exemple du cours : a = 1/3 ; b = 1 ; c = −1
    α = (a − 1)² = 4/9
    β = b (a − 1) = −2/3
    γ = c (a − 1) + b = −1 (−2/3) + 1 = 5/3
    soit : v_n = α u_n + β n + γ = 4/9 u_n − (2/3) n + 5/3 = (4 u_n − 6 n + 15) / 9

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