cours du 27/04/2016 : trigonométrie et suites     (répertoire)

• position d'un point qui se déplace à une vitesse constante v (depuis t₀ = 0)
  • déplacement d'un point en ligne droite : x(t) = x₀ + v t
    • Calcul de la vitesse : v = Δx / Δt
  • déplacement d'un point sur un cercle : α(t) = α₀ + ω t
    • la position de départ x₀ est remplacée par l'angle de départ α₀
    • la vitesse v est remplacée par la vitesse de rotation : ω = Δα / Δt
• Sur une route avec les villages A(0 km) , B(40 km), C (100 km)
  A midi, un cycliste part de B à la vitesse de 30 km/h vers C
  au même instant, une voiture part de A à la vitesse de 70 km/h
  question : quand et où la voiture va-t-elle rattraper le cycliste ?
  faire une estimation grahique, puis calculer le résultat exact. (temps en heure, minutes, secondes)
  formule générale : x(t) = x₀ + v (t − t₀)
  x_c = 40 + 30 (t − 12h)
  x_v = 0 + 70 (t − 12h)
  rattrapage : x_c = x_v
  40 + 30 (t − 12h) = 70 (t − 12h)
  1 = t − 12h ⇒ t = 13 h
  position : x_v = 0 + 70 (13h − 12h) = 70 km
• Sur une route avec les villages A(0 km) , B(40 km), C (100 km)
  Deux amis veulent se retrouver pour pique-niquer
  le premier part de A (0 km) à 12 h en voiture et roule en moyenne à 70 km/h
  le deuxième part de C (100 km) à 11 h en vélo et roule en moyenne à 30 km/h
  question : quand et où vont-ils se rejoindre ?
  faire une estimation grahique, puis calculer le résultat exact. (temps en heure, minutes, secondes)
  x_c = 100 − 30 (t − 11)
  x_v = 0 + 70 (t − 12)
  rencontre : x_c = x_v
  100 − 30 (t − 11) = 70 (t − 12)
  100 − 30 t + 330 = 70 t − 840
  1270 = 100 t
  t = 1270/100 h = 12,7 h ; en minutes et secondes : 12 h 42 mn
  lieu de la rencontre : x_v = 70 × 0,7 = 49 km
• contrôle commun 1ère S ; exercice 1.1)
  AM = x ; MB = 5 − x
  surface du demi-disque de diamètre AB : π r² / 2 = π (5/2)² / 2 = 25 π / 8
  surface du demi-disque de diamètre AM : π r² / 2 = π (x/2)² / 2 = x² π / 8
  surface du demi-disque de diamètre MB : π r² / 2 = π ((5−x)/2)² / 2 = (5−x)² π / 8
  S = 25 π / 8 − x² π / 8 − (5−x)² π / 8
  S = 25 π / 8 − x² π / 8 − [25 − 10 x + x²] π / 8
  S = [ 25 − x² − 25 + 10 x − x² ] π / 8
  S = [ − 2 x² + 10 x ] π / 8
  S = [ − x² + 5 x ] π / 4
  S = x (− x + 5) π / 4
  S = (8 / 25) 25 π / 8 = π
  [ − x² + 5 x ] / 4 = 1
  − x² + 5 x − 4 = 0
  Δ = 25 − 4 (−1) (−4) = 25 − 16 = 9
  x₁ = (−5 + 3) / (2(−1)) = −2 / (−2) = 1
  x₂ = (−5 − 3) / (2(−1)) = −8 / (−2) = 4
  Il existe 2 positions de M : AM = 1 et 4
  remarque : il y a toujours 2 solutions symétriques par rapport au milieu de AB
• contrôle commun 1ère S ; exercice 1.2)
  S = (1/2) 25 π / 8 = (25/16) π
  x (− x + 5) / 4 = 25/16
  − x² + 5 x = 25/4
  − 4 x² + 20 x − 25 = 0
  Δ = 400 − 4 (−4) (−25) = 400 − 400 = 0
  x = − 20 / (−8) = 5/2
  quand M est au milieu de AB, la surface rose pâle est la moitié de celle du demi-disque de diamètre AB.
• exercice 2 équations de droites
  • 2.1) y = 2 x + m : toutes les droites d_m sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur : 2
  • 2.2.a) m est l'ordonnée à l'origine
  • 2.2.b) intersection entre H et d_m : y = 1/x = 2 x + m
    1 = 2 x² + m x
    2 x² + m x − 1 = 0
    Δ = m² − (2) (−1) = m² + 2 > 0 : 2 solutions distinctes
  • 2.3.a) x_I = (x₁ + x₂) / 2 = −b/(2a) = − m / (2 × 2) = − m / 4
    car S = − b / a   et P = c / a
    y_I = (y₁ + y₂) / 2 = (1/x₁ + 1/x₂) / 2
    y_I = (x₂ + x₁) / (2 x₁ x₂)
    y_I = S / 2 P = − b / a × a / (2c) = − b / (2 c) = − m / (2 (−1)) = m / 2
  • 2.3.b) éliminons m entre x_I et y_I : m = − 4 x_I = 2 y_I
    Lieu de I : y = − 2 x

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